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1.某超市第一年亏损了10万元，第二年亏损了15万元，第三年盈利了50万元，这个超市在三年中共盈利万元.
答案
$\boldsymbol{25}$
解析
【分析】
解题时首先要明确盈利和亏损是一对具有相反意义的量，我们可以先规定其中一个为正，另一个就用负表示，再将三年的盈亏情况用有理数表示出来，最后把三个有理数相加，得到的结果就是三年总的盈利情况，结果为正就是总盈利，结果为负就是总亏损。
【解析】
规定盈利为正，亏损为负，则：
第一年盈亏表示为：-10万元，
第二年盈亏表示为：-15万元，
第三年盈亏表示为：+50万元。
计算三年总盈利：
$\begin{aligned}&(-10)+(-15)+50\\=&-25+50\\=&25(\mathrm{万元})\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{25}$
【知识点】
正负数的意义；有理数加减运算
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是正确用正负数表示相反意义的量，再结合有理数加减运算法则计算即可。
【难度系数】
0.9
解题时首先要明确盈利和亏损是一对具有相反意义的量，我们可以先规定其中一个为正，另一个就用负表示，再将三年的盈亏情况用有理数表示出来，最后把三个有理数相加，得到的结果就是三年总的盈利情况，结果为正就是总盈利，结果为负就是总亏损。
【解析】
规定盈利为正，亏损为负，则：
第一年盈亏表示为：-10万元，
第二年盈亏表示为：-15万元，
第三年盈亏表示为：+50万元。
计算三年总盈利：
$\begin{aligned}&(-10)+(-15)+50\\=&-25+50\\=&25(\mathrm{万元})\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{25}$
【知识点】
正负数的意义；有理数加减运算
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是正确用正负数表示相反意义的量，再结合有理数加减运算法则计算即可。
【难度系数】
0.9
2.一张足够大且厚度是0.1 mm的可折叠的纸，如果连续对折7次，那么对折后的厚度为mm.
答案
$\boldsymbol{12.8}$
解析
【分析】
解题时首先要找到纸对折后的层数变化规律：每对折1次，纸的层数就变为原来的2倍，即对折n次后，层数是$2^n$层，总厚度=单层厚度×总层数，因此我们先算出对折7次后的层数，再乘原厚度0.1mm即可得到结果。
【解析】
先推导对折后的厚度规律：
对折1次，层数为$2=2^1$，厚度为$0.1×2^1$ mm；
对折2次，层数为$4=2^2$，厚度为$0.1×2^2$ mm；
……
以此类推，对折n次时，厚度为$0.1×2^n$ mm。
当n=7时，厚度为：
$0.1×2^7=0.1×128=12.8$（mm）
【答案】
$12.8$
【知识点】
乘方的应用；有理数乘法运算
【点评】
本题属于生活中的乘方应用问题，核心是抓住“每次对折层数翻倍”的规律，结合乘方的意义列出算式计算即可，计算时要注意准确求出2的7次方的结果。
【难度系数】
0.7
解题时首先要找到纸对折后的层数变化规律：每对折1次，纸的层数就变为原来的2倍，即对折n次后，层数是$2^n$层，总厚度=单层厚度×总层数，因此我们先算出对折7次后的层数，再乘原厚度0.1mm即可得到结果。
【解析】
先推导对折后的厚度规律：
对折1次，层数为$2=2^1$，厚度为$0.1×2^1$ mm；
对折2次，层数为$4=2^2$，厚度为$0.1×2^2$ mm；
……
以此类推，对折n次时，厚度为$0.1×2^n$ mm。
当n=7时，厚度为：
$0.1×2^7=0.1×128=12.8$（mm）
【答案】
$12.8$
【知识点】
乘方的应用；有理数乘法运算
【点评】
本题属于生活中的乘方应用问题，核心是抓住“每次对折层数翻倍”的规律，结合乘方的意义列出算式计算即可，计算时要注意准确求出2的7次方的结果。
【难度系数】
0.7
3. 提升题把1~9这9个数填入$3×3$方格中，使其任意一行、任意一列及两条对角线上的数的和都相等，这样便构成了一个“九宫格”。它源于我国古代的“洛书”，是世界上最早的“幻方”。一个仅可以看到部分数值的“九宫格”如图所示，则$x-y$的值为。
答案
$\boldsymbol{-3}$
解析
【分析】
要解决这个九宫格问题，首先利用1~9的总和求出每行、每列、对角线的公共和（幻和）：1到9的和是45，平均分给3行，所以每行的和为$45÷3=15$。接着我们可以通过第一列的和用含x的式子表示出第二行第一列的未知数字，再代入第二行的和的等式，即可直接推出x和y的差，不需要算出所有位置的数。
【解析】
步骤1：计算1~9的总和：
$1+2+3+\dots+9=\frac{(1+9)×9}{2}=45$
因为九宫格任意一行的和相等，所以每行的和为$45÷3=15$。
步骤2：设第二行第一列的数为$a$，根据第一列的和为15，可得：
$x + a + 8 = 15$
整理得：$a=7 - x$
步骤3：根据第二行的和为15，代入$a=7-x$：
$a + 5 + y = 15$
$(7 - x) + 5 + y = 15$
化简得：$y - x = 3$
所以$x - y = -3$
【答案】
$\boldsymbol{-3}$
【知识点】
三阶幻方性质、有理数运算、代数式化简
【点评】
本题以传统九宫格为背景，核心是利用幻方每行每列和相等的性质建立未知量的关系，解题时不需要求出所有未知数字，灵活运用公共和建立等式即可快速求解。
【难度系数】
0.6
要解决这个九宫格问题，首先利用1~9的总和求出每行、每列、对角线的公共和（幻和）：1到9的和是45，平均分给3行，所以每行的和为$45÷3=15$。接着我们可以通过第一列的和用含x的式子表示出第二行第一列的未知数字，再代入第二行的和的等式，即可直接推出x和y的差，不需要算出所有位置的数。
【解析】
步骤1：计算1~9的总和：
$1+2+3+\dots+9=\frac{(1+9)×9}{2}=45$
因为九宫格任意一行的和相等，所以每行的和为$45÷3=15$。
步骤2：设第二行第一列的数为$a$，根据第一列的和为15，可得：
$x + a + 8 = 15$
整理得：$a=7 - x$
步骤3：根据第二行的和为15，代入$a=7-x$：
$a + 5 + y = 15$
$(7 - x) + 5 + y = 15$
化简得：$y - x = 3$
所以$x - y = -3$
【答案】
$\boldsymbol{-3}$
【知识点】
三阶幻方性质、有理数运算、代数式化简
【点评】
本题以传统九宫格为背景，核心是利用幻方每行每列和相等的性质建立未知量的关系，解题时不需要求出所有未知数字，灵活运用公共和建立等式即可快速求解。
【难度系数】
0.6
4.计算：
(1)$(-1)^2 × 5 - (-2)^3 ÷ |-4|$；
(2)$-2^3 + \frac{5}{9} × (-3)^2 - (-21) ÷ 3$。
(1)$(-1)^2 × 5 - (-2)^3 ÷ |-4|$；
(2)$-2^3 + \frac{5}{9} × (-3)^2 - (-21) ÷ 3$。
答案
解：
(1) $(-1)^2 × 5 - (-2)^3 ÷ |-4|$
$=1 × 5 - (-8) ÷ 4$
$=5 - (-2)$
$=5 + 2$
$=7$
(2) $-2^3 + \frac{5}{9} × (-3)^2 - (-21) ÷ 3$
$=-8 + \frac{5}{9} × 9 - (-7)$
$=-8 + 5 + 7$
$=4$
(1) $(-1)^2 × 5 - (-2)^3 ÷ |-4|$
$=1 × 5 - (-8) ÷ 4$
$=5 - (-2)$
$=5 + 2$
$=7$
(2) $-2^3 + \frac{5}{9} × (-3)^2 - (-21) ÷ 3$
$=-8 + \frac{5}{9} × 9 - (-7)$
$=-8 + 5 + 7$
$=4$
解析
【分析】
这两道题是有理数混合运算的基础题型，解题需严格遵循有理数混合运算优先级：先算乘方、绝对值，再算乘除，最后算加减。解题时首先要注意符号判定：比如$(-1)^2$是2个-1相乘得正，$-2^3$是$2^3$的相反数结果为负，避免符号混淆；再按运算优先级逐步计算，每一步先确定运算类型，再计算数值即可。
【解析】
(1) 先计算乘方和绝对值，再算乘除，最后算加减：
$\begin{aligned}(-1)^2 × 5 - (-2)^3 ÷ |-4|&=1 × 5 - (-8) ÷ 4\\&=5 - (-2)\\&=5 + 2\\&=7\end{aligned}$
(2) 先计算乘方，再算乘除，最后算加减：
$\begin{aligned}-2^3 + \frac{5}{9} × (-3)^2 - (-21) ÷ 3&=-8 + \frac{5}{9} × 9 - (-7)\\&=-8 + 5 + 7\\&=4\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{7}$；(2) $\boxed{4}$
【知识点】
有理数混合运算、乘方运算、绝对值运算
【点评】
本题重点考查有理数运算顺序的掌握和符号处理能力，属于常规计算题，计算时注意区分带负号的乘方的符号差异，仔细运算即可得分。
【难度系数】
0.8
这两道题是有理数混合运算的基础题型，解题需严格遵循有理数混合运算优先级：先算乘方、绝对值，再算乘除，最后算加减。解题时首先要注意符号判定：比如$(-1)^2$是2个-1相乘得正，$-2^3$是$2^3$的相反数结果为负，避免符号混淆；再按运算优先级逐步计算，每一步先确定运算类型，再计算数值即可。
【解析】
(1) 先计算乘方和绝对值，再算乘除，最后算加减：
$\begin{aligned}(-1)^2 × 5 - (-2)^3 ÷ |-4|&=1 × 5 - (-8) ÷ 4\\&=5 - (-2)\\&=5 + 2\\&=7\end{aligned}$
(2) 先计算乘方，再算乘除，最后算加减：
$\begin{aligned}-2^3 + \frac{5}{9} × (-3)^2 - (-21) ÷ 3&=-8 + \frac{5}{9} × 9 - (-7)\\&=-8 + 5 + 7\\&=4\end{aligned}$
【答案】
(1) $\boxed{7}$；(2) $\boxed{4}$
【知识点】
有理数混合运算、乘方运算、绝对值运算
【点评】
本题重点考查有理数运算顺序的掌握和符号处理能力，属于常规计算题，计算时注意区分带负号的乘方的符号差异，仔细运算即可得分。
【难度系数】
0.8
5. 观察下列三行数：
第一行：$-1,2,-3,4,-5,···$；
第二行：$3,-6,9,-12,15,···$；
第三行：$-1,8,-27,64,-125,···$.
(1)第一行中第6个数是；第三行中的第6个数是.
(2)求第二行前2026个数的和.
第一行：$-1,2,-3,4,-5,···$；
第二行：$3,-6,9,-12,15,···$；
第三行：$-1,8,-27,64,-125,···$.
(1)第一行中第6个数是；第三行中的第6个数是.
(2)求第二行前2026个数的和.
答案
解：
(1) 第一行中第6个数是$\boldsymbol{6}$；第三行中的第6个数是$\boldsymbol{216}$。
(2) 观察第二行的数可得：相邻两个数为一组，每组的和均为$3+(-6)=-3$，$9+(-12)=-3$，……
前2026个数一共可以分成$2026÷2=1013$组，
因此第二行前2026个数的和为：
$-3×1013=-3039$
(1) 第一行中第6个数是$\boldsymbol{6}$；第三行中的第6个数是$\boldsymbol{216}$。
(2) 观察第二行的数可得：相邻两个数为一组，每组的和均为$3+(-6)=-3$，$9+(-12)=-3$，……
前2026个数一共可以分成$2026÷2=1013$组，
因此第二行前2026个数的和为：
$-3×1013=-3039$
解析
【分析】
(1) 先观察第一行数字的规律：符号为奇数项负、偶数项正，数字的绝对值等于它的序号，代入序号6即可得出结果；再观察第三行的数字：每个数都是对应序号的立方，符号规律和第一行一致，代入序号6即可计算出结果。
(2) 观察第二行的数字，可发现相邻两个数的和固定为-3，由于2026是偶数，刚好可以将前2026个数两两分组，先算出总组数，再用每组的和乘组数就能得到总和。
【解析】
(1) 第一行数字规律：第n个数符号“奇负偶正”，绝对值等于序号n，第6个数是偶数项，绝对值为6，因此第一行第6个数是6；
第三行数字规律：第n个数符号“奇负偶正”，数值为序号n的立方，第6个数是偶数项，数值为$6^3=216$，因此第三行第6个数是216。
(2) 将第二行相邻两个数分为一组：
第一组和：$3+(-6)=-3$
第二组和：$9+(-12)=-3$
……
可得出每组的和均为-3。
前2026个数总组数：$2026÷2=1013$（组）
前2026个数的和：$1013×(-3)=-3039$
【答案】
(1) $\boldsymbol{6}$；$\boldsymbol{216}$
(2) $\boldsymbol{-3039}$
【知识点】
数字规律探究，有理数加法，分组求和
【点评】
本题侧重考查对数字排列规律的观察与归纳能力，通过分组的方法可以大幅简化求和计算，是规律探究类题型的典型考法，练习时要注意养成从特殊到一般的归纳思维。
【难度系数】
0.7
(1) 先观察第一行数字的规律：符号为奇数项负、偶数项正，数字的绝对值等于它的序号，代入序号6即可得出结果；再观察第三行的数字：每个数都是对应序号的立方，符号规律和第一行一致，代入序号6即可计算出结果。
(2) 观察第二行的数字，可发现相邻两个数的和固定为-3，由于2026是偶数，刚好可以将前2026个数两两分组，先算出总组数，再用每组的和乘组数就能得到总和。
【解析】
(1) 第一行数字规律：第n个数符号“奇负偶正”，绝对值等于序号n，第6个数是偶数项，绝对值为6，因此第一行第6个数是6；
第三行数字规律：第n个数符号“奇负偶正”，数值为序号n的立方，第6个数是偶数项，数值为$6^3=216$，因此第三行第6个数是216。
(2) 将第二行相邻两个数分为一组：
第一组和：$3+(-6)=-3$
第二组和：$9+(-12)=-3$
……
可得出每组的和均为-3。
前2026个数总组数：$2026÷2=1013$（组）
前2026个数的和：$1013×(-3)=-3039$
【答案】
(1) $\boldsymbol{6}$；$\boldsymbol{216}$
(2) $\boldsymbol{-3039}$
【知识点】
数字规律探究，有理数加法，分组求和
【点评】
本题侧重考查对数字排列规律的观察与归纳能力，通过分组的方法可以大幅简化求和计算，是规律探究类题型的典型考法，练习时要注意养成从特殊到一般的归纳思维。
【难度系数】
0.7
6. 提升题 网约车司机李师傅某天下午的营运是在南北走向的某条公路上进行的.如果向南记作“－”，向北记作“＋”，他这天下午出车的情况(单位：km，每次行车都有乘客)如下：－2，＋5，－1，＋8，－3，－2，－4，＋6.
(1)将最后一名乘客送到目的地时，李师傅距下午出车的出发地多远？
(2)若规定每趟车的起步价是10元，且每趟车行驶的路程在3 km及以内只收起步价；若超过3 km，除收起步价外，超过的每千米还需收2元，那么李师傅这天下午收到乘客所给车费共多少元？
(3)若李师傅的车油耗为0.05 L/km，每升汽油8元，不计汽车的损耗，那么李师傅这天下午是盈利了还是亏损了？盈利(或亏损)多少钱？
(1)将最后一名乘客送到目的地时，李师傅距下午出车的出发地多远？
(2)若规定每趟车的起步价是10元，且每趟车行驶的路程在3 km及以内只收起步价；若超过3 km，除收起步价外，超过的每千米还需收2元，那么李师傅这天下午收到乘客所给车费共多少元？
(3)若李师傅的车油耗为0.05 L/km，每升汽油8元，不计汽车的损耗，那么李师傅这天下午是盈利了还是亏损了？盈利(或亏损)多少钱？
答案
解：
(1) 计算所有营运里程的代数和：
$-2 + 5 - 1 + 8 - 3 - 2 - 4 + 6 = 7(\mathrm{km})$
答：将最后一名乘客送到目的地时，李师傅距下午出车的出发地7 km。
(2) 共8趟行程，总起步价为 $8×10=80$ 元。
各趟行程的绝对值分别为：$|-2|=2$，$|+5|=5$，$|-1|=1$，$|+8|=8$，$|-3|=3$，$|-2|=2$，$|-4|=4$，$|+6|=6$。
超过3km的部分额外收费总和为：
$(5-3)×2 + (8-3)×2 + (4-3)×2 + (6-3)×2 = 22(\mathrm{元})$
总车费为 $80 + 22 = 102(\mathrm{元})$。
答：李师傅这天下午收到乘客所给车费共102元。
(3) 总行驶路程为所有行程绝对值的和：
$|-2| + |+5| + |-1| + |+8| + |-3| + |-2| + |-4| + |+6| = 31(\mathrm{km})$
总油费为：
$31×0.05×8 = 12.4(\mathrm{元})$
因为 $102＞12.4$，盈利金额为 $102 - 12.4 = 89.6(\mathrm{元})$。
答：李师傅这天下午盈利了，盈利89.6元。
(1) 计算所有营运里程的代数和：
$-2 + 5 - 1 + 8 - 3 - 2 - 4 + 6 = 7(\mathrm{km})$
答：将最后一名乘客送到目的地时，李师傅距下午出车的出发地7 km。
(2) 共8趟行程，总起步价为 $8×10=80$ 元。
各趟行程的绝对值分别为：$|-2|=2$，$|+5|=5$，$|-1|=1$，$|+8|=8$，$|-3|=3$，$|-2|=2$，$|-4|=4$，$|+6|=6$。
超过3km的部分额外收费总和为：
$(5-3)×2 + (8-3)×2 + (4-3)×2 + (6-3)×2 = 22(\mathrm{元})$
总车费为 $80 + 22 = 102(\mathrm{元})$。
答：李师傅这天下午收到乘客所给车费共102元。
(3) 总行驶路程为所有行程绝对值的和：
$|-2| + |+5| + |-1| + |+8| + |-3| + |-2| + |-4| + |+6| = 31(\mathrm{km})$
总油费为：
$31×0.05×8 = 12.4(\mathrm{元})$
因为 $102＞12.4$，盈利金额为 $102 - 12.4 = 89.6(\mathrm{元})$。
答：李师傅这天下午盈利了，盈利89.6元。
解析
【分析】
(1) 要确定李师傅最终距出发地的距离，因规定向北为正、向南为负，只需将所有行车里程直接相加，所得结果的绝对值就是距离出发地的长度，结果的正负代表相对出发地的方向。
(2) 计算总车费时，首先每趟都有10元起步价，先算出8趟的总起步价；再计算每趟行程的实际路程（即里程的绝对值），找出路程超过3km的行程，算出每趟超出3km的部分，按每千米2元计算额外收费，最后将总起步价和额外收费相加即可得到总车费。
(3) 判断盈利还是亏损，需先计算总油费：总行驶路程是所有行车里程的绝对值之和，结合油耗和汽油单价算出总油费，再将总车费和总油费比较，总车费大于油费即为盈利，二者差值就是盈利金额，反之则为亏损。
【解析】
(1) 计算所有营运里程的代数和：
$-2 + 5 - 1 + 8 - 3 - 2 - 4 + 6 = 7(\mathrm{km})$
答：将最后一名乘客送到目的地时，李师傅距下午出车的出发地7 km。
(2) 共8趟行程，总起步价为 $8×10=80$ 元。
各趟行程的绝对值分别为：$|-2|=2$，$|+5|=5$，$|-1|=1$，$|+8|=8$，$|-3|=3$，$|-2|=2$，$|-4|=4$，$|+6|=6$。
超过3km的部分额外收费总和为：
$(5-3)×2 + (8-3)×2 + (4-3)×2 + (6-3)×2 = 22(\mathrm{元})$
总车费为 $80 + 22 = 102(\mathrm{元})$。
答：李师傅这天下午收到乘客所给车费共102元。
(3) 总行驶路程为所有行程绝对值的和：
$|-2| + |+5| + |-1| + |+8| + |-3| + |-2| + |-4| + |+6| = 31(\mathrm{km})$
总油费为：
$31×0.05×8 = 12.4(\mathrm{元})$
因为 $102＞12.4$，盈利金额为 $102 - 12.4 = 89.6(\mathrm{元})$。
答：李师傅这天下午盈利了，盈利89.6元。
【答案】
(1) 距出发地7km；
(2) 102元；
(3) 盈利了，盈利89.6元。
【知识点】
正负数的实际应用，有理数加减运算，绝对值的应用
【点评】
本题结合生活实际场景考查有理数相关知识的运用，解题核心是区分“相对出发地的距离”和“总行驶路程”的计算逻辑，前者求各数的代数和，后者求各数绝对值的和，计算过程需注意不要漏算各段行程的费用和路程。
【难度系数】
0.7
(1) 要确定李师傅最终距出发地的距离，因规定向北为正、向南为负，只需将所有行车里程直接相加，所得结果的绝对值就是距离出发地的长度，结果的正负代表相对出发地的方向。
(2) 计算总车费时，首先每趟都有10元起步价，先算出8趟的总起步价；再计算每趟行程的实际路程（即里程的绝对值），找出路程超过3km的行程，算出每趟超出3km的部分，按每千米2元计算额外收费，最后将总起步价和额外收费相加即可得到总车费。
(3) 判断盈利还是亏损，需先计算总油费：总行驶路程是所有行车里程的绝对值之和，结合油耗和汽油单价算出总油费，再将总车费和总油费比较，总车费大于油费即为盈利，二者差值就是盈利金额，反之则为亏损。
【解析】
(1) 计算所有营运里程的代数和：
$-2 + 5 - 1 + 8 - 3 - 2 - 4 + 6 = 7(\mathrm{km})$
答：将最后一名乘客送到目的地时，李师傅距下午出车的出发地7 km。
(2) 共8趟行程，总起步价为 $8×10=80$ 元。
各趟行程的绝对值分别为：$|-2|=2$，$|+5|=5$，$|-1|=1$，$|+8|=8$，$|-3|=3$，$|-2|=2$，$|-4|=4$，$|+6|=6$。
超过3km的部分额外收费总和为：
$(5-3)×2 + (8-3)×2 + (4-3)×2 + (6-3)×2 = 22(\mathrm{元})$
总车费为 $80 + 22 = 102(\mathrm{元})$。
答：李师傅这天下午收到乘客所给车费共102元。
(3) 总行驶路程为所有行程绝对值的和：
$|-2| + |+5| + |-1| + |+8| + |-3| + |-2| + |-4| + |+6| = 31(\mathrm{km})$
总油费为：
$31×0.05×8 = 12.4(\mathrm{元})$
因为 $102＞12.4$，盈利金额为 $102 - 12.4 = 89.6(\mathrm{元})$。
答：李师傅这天下午盈利了，盈利89.6元。
【答案】
(1) 距出发地7km；
(2) 102元；
(3) 盈利了，盈利89.6元。
【知识点】
正负数的实际应用，有理数加减运算，绝对值的应用
【点评】
本题结合生活实际场景考查有理数相关知识的运用，解题核心是区分“相对出发地的距离”和“总行驶路程”的计算逻辑，前者求各数的代数和，后者求各数绝对值的和，计算过程需注意不要漏算各段行程的费用和路程。
【难度系数】
0.7
