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式与数有相同的混合运算顺序，涉及分式的混合运算，也要先
乘方
，再乘除
，然后加减
.有括号时，先做括号内的运算，再做括号外的运算.答案
分式的混合运算顺序：先乘方，再乘除，然后加减，有括号时先做括号内的运算，再做括号外的运算。
解析
【分析】
我们已经学习过有理数、整式的混合运算顺序，分式的混合运算顺序和它们完全一致。解题时先回忆常规混合运算的优先级：优先级最高的是乘方运算，其次是乘除这类二级运算，最后是加减这类一级运算，有括号的优先计算括号内的内容，据此就能对应填出三个空的内容。
【解析】
分式的混合运算顺序与数、整式的混合运算顺序完全相同：运算时先计算乘方，再计算乘除运算，最后计算加减运算；如果有括号，要先做括号内的运算，再做括号外的运算。因此三个空依次填乘方、乘除、加减。
【答案】
乘方；乘除；加减
【知识点】
分式混合运算顺序
【点评】
本题属于基础概念识记题，核心考查分式混合运算的运算顺序，是进行复杂分式化简、求值的基础，熟练掌握该运算规则能有效避免分式运算时出现顺序错误。
【难度系数】
0.9
我们已经学习过有理数、整式的混合运算顺序，分式的混合运算顺序和它们完全一致。解题时先回忆常规混合运算的优先级：优先级最高的是乘方运算，其次是乘除这类二级运算，最后是加减这类一级运算，有括号的优先计算括号内的内容，据此就能对应填出三个空的内容。
【解析】
分式的混合运算顺序与数、整式的混合运算顺序完全相同：运算时先计算乘方，再计算乘除运算，最后计算加减运算；如果有括号，要先做括号内的运算，再做括号外的运算。因此三个空依次填乘方、乘除、加减。
【答案】
乘方；乘除；加减
【知识点】
分式混合运算顺序
【点评】
本题属于基础概念识记题，核心考查分式混合运算的运算顺序，是进行复杂分式化简、求值的基础，熟练掌握该运算规则能有效避免分式运算时出现顺序错误。
【难度系数】
0.9
例 计算：(1)$\frac{a}{a^2 - 1} ÷ \frac{a^2 + a}{a^2 + 2a + 1} + \frac{1}{a - 1}$；(2)$( \frac{2}{a + 1} - \frac{1}{a} ) ÷ \frac{a^2 - a}{a^2 + 2a + 1}$。
答案
(1) 原式$=\frac{a}{(a+1)(a-1)} · \frac{(a+1)^2}{a(a+1)} + \frac{1}{a-1} = \frac{1}{a-1}+\frac{1}{a-1}=\frac{2}{a-1}.$
(2) 原式$=[\frac{2a}{a(a+1)}-\frac{a+1}{a(a+1)}] · \frac{a^2+2a+1}{a^2-a}=\frac{a-1}{a(a+1)} · \frac{(a+1)^2}{a(a-1)}=\frac{a+1}{a^2}.$
(2) 原式$=[\frac{2a}{a(a+1)}-\frac{a+1}{a(a+1)}] · \frac{a^2+2a+1}{a^2-a}=\frac{a-1}{a(a+1)} · \frac{(a+1)^2}{a(a-1)}=\frac{a+1}{a^2}.$
解析
【分析】
分式混合运算遵循“先乘除，后加减，有括号先算括号内”的运算顺序，计算时先将除法转化为乘法，再对各分式的分子分母因式分解，约分后再进行通分计算即可。
(1) 先处理除法运算：利用平方差公式分解$a^2-1=(a+1)(a-1)$，完全平方公式分解$a^2+2a+1=(a+1)^2$，提公因式分解$a^2+a=a(a+1)$，将除法改为乘以倒数后约分，再和后面的$\frac{1}{a-1}$相加即可。
(2) 先计算括号内的分式减法：通分后计算出差值，再将除法改为乘法，对分子分母因式分解后约分即可得到结果。
【解析】
(1) 先将除法转化为乘法，同时因式分解各部分：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{a}{(a+1)(a-1)} · \frac{(a+1)^2}{a(a+1)} + \frac{1}{a-1}\\&=\frac{1}{a-1}+\frac{1}{a-1}\\&=\frac{2}{a-1}\end{aligned}$
(2) 先计算括号内的减法，再处理除法：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=[\frac{2a}{a(a+1)}-\frac{a+1}{a(a+1)}] · \frac{a^2+2a+1}{a^2-a}\\&=\frac{2a-(a+1)}{a(a+1)} · \frac{(a+1)^2}{a(a-1)}\\&=\frac{a-1}{a(a+1)} · \frac{(a+1)^2}{a(a-1)}\\&=\frac{a+1}{a^2}\end{aligned}$
【答案】
(1)$\boxed{\dfrac{2}{a-1}}$；(2)$\boxed{\dfrac{a+1}{a^2}}$
【知识点】
分式混合运算，因式分解，分式通分约分
【点评】
本题是分式混合运算的常规题型，重点考查运算顺序的掌握和因式分解在分式化简中的应用，计算时需注意先因式分解再约分，通分时要找准最简公分母，避免出现符号或计算错误。
【难度系数】
0.7
分式混合运算遵循“先乘除，后加减，有括号先算括号内”的运算顺序，计算时先将除法转化为乘法，再对各分式的分子分母因式分解，约分后再进行通分计算即可。
(1) 先处理除法运算：利用平方差公式分解$a^2-1=(a+1)(a-1)$，完全平方公式分解$a^2+2a+1=(a+1)^2$，提公因式分解$a^2+a=a(a+1)$，将除法改为乘以倒数后约分，再和后面的$\frac{1}{a-1}$相加即可。
(2) 先计算括号内的分式减法：通分后计算出差值，再将除法改为乘法，对分子分母因式分解后约分即可得到结果。
【解析】
(1) 先将除法转化为乘法，同时因式分解各部分：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{a}{(a+1)(a-1)} · \frac{(a+1)^2}{a(a+1)} + \frac{1}{a-1}\\&=\frac{1}{a-1}+\frac{1}{a-1}\\&=\frac{2}{a-1}\end{aligned}$
(2) 先计算括号内的减法，再处理除法：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=[\frac{2a}{a(a+1)}-\frac{a+1}{a(a+1)}] · \frac{a^2+2a+1}{a^2-a}\\&=\frac{2a-(a+1)}{a(a+1)} · \frac{(a+1)^2}{a(a-1)}\\&=\frac{a-1}{a(a+1)} · \frac{(a+1)^2}{a(a-1)}\\&=\frac{a+1}{a^2}\end{aligned}$
【答案】
(1)$\boxed{\dfrac{2}{a-1}}$；(2)$\boxed{\dfrac{a+1}{a^2}}$
【知识点】
分式混合运算，因式分解，分式通分约分
【点评】
本题是分式混合运算的常规题型，重点考查运算顺序的掌握和因式分解在分式化简中的应用，计算时需注意先因式分解再约分，通分时要找准最简公分母，避免出现符号或计算错误。
【难度系数】
0.7
1. 计算:
(1) $\frac{2a}{a-b} · \frac{ab + b^2}{ab} - \frac{a^4}{a^2 - b^2} ÷ ( \frac{a^2}{a + b} )^2$；
(2) $\frac{x^2 - 4x + 4}{x^2 - 1} ÷ \frac{x^2 - 2x}{x + 1} + \frac{1}{x - 1}$；
(3) $(x - 1) ÷ ( 1 - \frac{1}{x} ) · x$。
(1) $\frac{2a}{a-b} · \frac{ab + b^2}{ab} - \frac{a^4}{a^2 - b^2} ÷ ( \frac{a^2}{a + b} )^2$；
(2) $\frac{x^2 - 4x + 4}{x^2 - 1} ÷ \frac{x^2 - 2x}{x + 1} + \frac{1}{x - 1}$；
(3) $(x - 1) ÷ ( 1 - \frac{1}{x} ) · x$。
答案
(1) 原式$=\frac{2a}{a-b} · \frac{b(a+b)}{ab} - \frac{a^4}{(a+b)(a-b)} · \frac{(a+b)^2}{a^4} = \frac{2(a+b)}{a-b}-\frac{a+b}{a-b}=\frac{a+b}{a-b}.$
(2) 原式$=\frac{(x-2)^2}{(x+1)(x-1)} · \frac{x+1}{x(x-2)} + \frac{1}{x-1} = \frac{x-2}{x(x-1)}+\frac{x}{x(x-1)}=\frac{2x-2}{x(x-1)}=\frac{2(x-1)}{x(x-1)}=\frac{2}{x}.$
(3) 原式$=(x-1)÷\frac{x-1}{x} · x=(x-1) · \frac{x}{x-1} · x=x^2.$
(2) 原式$=\frac{(x-2)^2}{(x+1)(x-1)} · \frac{x+1}{x(x-2)} + \frac{1}{x-1} = \frac{x-2}{x(x-1)}+\frac{x}{x(x-1)}=\frac{2x-2}{x(x-1)}=\frac{2(x-1)}{x(x-1)}=\frac{2}{x}.$
(3) 原式$=(x-1)÷\frac{x-1}{x} · x=(x-1) · \frac{x}{x-1} · x=x^2.$
解析
【分析】
分式混合运算遵循和整式一致的运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号优先计算括号内的内容。解题时首先对各分式的分子、分母进行因式分解，将除法运算统一转化为乘法运算，能约分的先约分简化计算，加减运算时先通分化为同分母分式再计算，最终结果需化为最简分式或整式。
【解析】
(1) 先处理乘方，再计算乘除，最后计算加减：
原式$=\frac{2a}{a-b} · \frac{b(a+b)}{ab} - \frac{a^4}{(a+b)(a-b)} · \frac{(a+b)^2}{a^4} = \frac{2(a+b)}{a-b}-\frac{a+b}{a-b}=\frac{a+b}{a-b}$
(2) 先将除法转化为乘法，因式分解后约分，再通分计算加减：
原式$=\frac{(x-2)^2}{(x+1)(x-1)} · \frac{x+1}{x(x-2)} + \frac{1}{x-1} = \frac{x-2}{x(x-1)}+\frac{x}{x(x-1)}=\frac{2x-2}{x(x-1)}=\frac{2(x-1)}{x(x-1)}=\frac{2}{x}$
(3) 先计算括号内的减法，再统一为乘法运算后约分计算：
原式$=(x-1)÷\frac{x-1}{x} · x=(x-1) · \frac{x}{x-1} · x=x^2$
【答案】
(1) $\frac{a+b}{a-b}$；(2) $\frac{2}{x}$；(3) $x^2$
【知识点】
分式混合运算，因式分解，分式约分通分
【点评】
这三道题是分式混合运算的常规题型，侧重考查运算规则的掌握和运算熟练度，计算时需注意先理清运算顺序，因式分解要准确，约分过程中避免出现符号或者漏约的错误，最终结果要保证是最简形式。
【难度系数】
0.7
分式混合运算遵循和整式一致的运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号优先计算括号内的内容。解题时首先对各分式的分子、分母进行因式分解，将除法运算统一转化为乘法运算，能约分的先约分简化计算，加减运算时先通分化为同分母分式再计算，最终结果需化为最简分式或整式。
【解析】
(1) 先处理乘方，再计算乘除，最后计算加减：
原式$=\frac{2a}{a-b} · \frac{b(a+b)}{ab} - \frac{a^4}{(a+b)(a-b)} · \frac{(a+b)^2}{a^4} = \frac{2(a+b)}{a-b}-\frac{a+b}{a-b}=\frac{a+b}{a-b}$
(2) 先将除法转化为乘法，因式分解后约分，再通分计算加减：
原式$=\frac{(x-2)^2}{(x+1)(x-1)} · \frac{x+1}{x(x-2)} + \frac{1}{x-1} = \frac{x-2}{x(x-1)}+\frac{x}{x(x-1)}=\frac{2x-2}{x(x-1)}=\frac{2(x-1)}{x(x-1)}=\frac{2}{x}$
(3) 先计算括号内的减法，再统一为乘法运算后约分计算：
原式$=(x-1)÷\frac{x-1}{x} · x=(x-1) · \frac{x}{x-1} · x=x^2$
【答案】
(1) $\frac{a+b}{a-b}$；(2) $\frac{2}{x}$；(3) $x^2$
【知识点】
分式混合运算，因式分解，分式约分通分
【点评】
这三道题是分式混合运算的常规题型，侧重考查运算规则的掌握和运算熟练度，计算时需注意先理清运算顺序，因式分解要准确，约分过程中避免出现符号或者漏约的错误，最终结果要保证是最简形式。
【难度系数】
0.7
2. 先化简：$(\dfrac{2}{m-3} + 1) ÷ \dfrac{2m - 2}{m^2 - 6m + 9}$，再从1，2，3，4中选择一个合适的数代入求值。
答案
原式$=(\frac{2}{m-3}+\frac{m-3}{m-3}) · \frac{m^2-6m+9}{2m-2}=\frac{m-1}{m-3} · \frac{(m-3)^2}{2(m-1)}=\frac{m-3}{2}.$
$\because m-3≠0$ 且 $2m-2≠0$，$\therefore m≠3$ 且 $m≠1$。
当$m=2$时，原式$=\frac{2-3}{2}=-\frac{1}{2}.$（或当$m=4$时，原式$=\frac{4-3}{2}=\frac{1}{2}.$）
$\because m-3≠0$ 且 $2m-2≠0$，$\therefore m≠3$ 且 $m≠1$。
当$m=2$时，原式$=\frac{2-3}{2}=-\frac{1}{2}.$（或当$m=4$时，原式$=\frac{4-3}{2}=\frac{1}{2}.$）
解析
【分析】
这是分式化简求值类题目，解题思路分三步：第一步先处理括号内的分式加法，将1通分为与另一个分式同分母的形式，计算括号内的结果；第二步将除法运算转化为乘法运算，同时对分子、分母中能因式分解的多项式进行因式分解，再约分得到最简分式；第三步先根据分式有意义的条件（所有分母不为0、除数不为0）排除不合适的m的取值，再从剩余可选的数中选一个代入最简式计算结果。
【解析】
解：先化简原式：
1. 计算括号内的加法：
$(\dfrac{2}{m-3} + 1) = \dfrac{2}{m-3} + \dfrac{m-3}{m-3} = \dfrac{2 + m - 3}{m-3} = \dfrac{m-1}{m-3}$
2. 将除法转化为乘法，同时因式分解：
原式$= \dfrac{m-1}{m-3} ÷ \dfrac{2m-2}{m^2 - 6m +9} = \dfrac{m-1}{m-3} · \dfrac{m^2 -6m +9}{2m-2}$
其中$m^2-6m+9=(m-3)^2$，$2m-2=2(m-1)$，代入得：
原式$= \dfrac{m-1}{m-3} · \dfrac{(m-3)^2}{2(m-1)}$
3. 约分：约掉分子分母的公因式$(m-1)$和$(m-3)$，得最简式为$\dfrac{m-3}{2}$
4. 确定m的取值范围：要使原式有意义，则所有分母和除数不为0，即$m-3≠0$且$2m-2≠0$，解得$m≠3$且$m≠1$，因此可选择m=2或m=4代入。
当$m=2$时，原式$=\dfrac{2-3}{2}=-\dfrac{1}{2}$；当$m=4$时，原式$=\dfrac{4-3}{2}=\dfrac{1}{2}$，任选一个即可。
【答案】
化简结果为$\dfrac{m-3}{2}$，当$m=2$时，值为$-\dfrac{1}{2}$（或当$m=4$时，值为$\dfrac{1}{2}$）
【知识点】
分式的混合运算，分式有意义的条件，因式分解
【点评】
本题是分式化简求值的典型基础题，既考查了分式混合运算的运算顺序和约分规则，也设置了分式有意义的隐含限制条件，解题时需注意代入的数值必须保证原式中所有分母和除数都不为0，不能盲目代入题干给出的数字。
【难度系数】
0.75
这是分式化简求值类题目，解题思路分三步：第一步先处理括号内的分式加法，将1通分为与另一个分式同分母的形式，计算括号内的结果；第二步将除法运算转化为乘法运算，同时对分子、分母中能因式分解的多项式进行因式分解，再约分得到最简分式；第三步先根据分式有意义的条件（所有分母不为0、除数不为0）排除不合适的m的取值，再从剩余可选的数中选一个代入最简式计算结果。
【解析】
解：先化简原式：
1. 计算括号内的加法：
$(\dfrac{2}{m-3} + 1) = \dfrac{2}{m-3} + \dfrac{m-3}{m-3} = \dfrac{2 + m - 3}{m-3} = \dfrac{m-1}{m-3}$
2. 将除法转化为乘法，同时因式分解：
原式$= \dfrac{m-1}{m-3} ÷ \dfrac{2m-2}{m^2 - 6m +9} = \dfrac{m-1}{m-3} · \dfrac{m^2 -6m +9}{2m-2}$
其中$m^2-6m+9=(m-3)^2$，$2m-2=2(m-1)$，代入得：
原式$= \dfrac{m-1}{m-3} · \dfrac{(m-3)^2}{2(m-1)}$
3. 约分：约掉分子分母的公因式$(m-1)$和$(m-3)$，得最简式为$\dfrac{m-3}{2}$
4. 确定m的取值范围：要使原式有意义，则所有分母和除数不为0，即$m-3≠0$且$2m-2≠0$，解得$m≠3$且$m≠1$，因此可选择m=2或m=4代入。
当$m=2$时，原式$=\dfrac{2-3}{2}=-\dfrac{1}{2}$；当$m=4$时，原式$=\dfrac{4-3}{2}=\dfrac{1}{2}$，任选一个即可。
【答案】
化简结果为$\dfrac{m-3}{2}$，当$m=2$时，值为$-\dfrac{1}{2}$（或当$m=4$时，值为$\dfrac{1}{2}$）
【知识点】
分式的混合运算，分式有意义的条件，因式分解
【点评】
本题是分式化简求值的典型基础题，既考查了分式混合运算的运算顺序和约分规则，也设置了分式有意义的隐含限制条件，解题时需注意代入的数值必须保证原式中所有分母和除数都不为0，不能盲目代入题干给出的数字。
【难度系数】
0.75
