8. (2023·凉山)如图,在△ABC中,AB= AC,∠A= 40°,根据尺规作图的痕迹作直线MN与AC交于点D,连接BD,则∠DBC的度数为 ( )

A.20°
B.30°
C.40°
D.50°
]

B

∵AB=AC，∠A=40°，
∴∠ABC=∠C=(180°-40°)/2=70°.
由尺规作图痕迹可知，MN是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∴∠ABD=∠A=40°，
∴∠DBC=∠ABC-∠ABD=70°-40°=30°.
B

9. (2024·云南)已知AF是等腰三角形ABC底边BC上的高,若点F到直线AB的距离为3,则点F到直线AC的距离为 ( )

A.3/2
B.2
C.3
D.7/2

C

∵AF是等腰三角形ABC底边BC上的高，
∴AB=AC，∠BAF=∠CAF，
∴点F在∠BAC的平分线上，
∵角平分线上的点到角两边的距离相等，点F到直线AB的距离为3，
∴点F到直线AC的距离为3。
C

10. (2024·内江)如图,在△ABC中,∠DCE= 40°,AE= AC,BC= BD,则∠ACB的度数为______.

100°

设∠ACB=x°，则∠ACD+∠DCE+∠ECB=x°，∠DCE=40°，故∠ACD+∠ECB=x°-40°。
∵AE=AC，
∴∠AEC=∠ACE=∠ACD+∠DCE=∠ACD+40°，在△ACE中，∠A=180°-2∠AEC=180°-2(∠ACD+40°)=100°-2∠ACD。
∵BC=BD，
∴∠BDC=∠BCD=∠BCE+∠DCE=∠BCE+40°，在△BCD中，∠B=180°-2∠BDC=180°-2(∠BCE+40°)=100°-2∠BCE。
在△ABC中，∠A+∠B+∠ACB=180°，即(100°-2∠ACD)+(100°-2∠BCE)+x°=180°，整理得200°-2(∠ACD+∠BCE)+x°=180°。
∵∠ACD+∠ECB=x°-40°，
∴200°-2(x°-40°)+x°=180°，解得x=100。
100°

11. 如图,在四边形ABCD中,AB= BC= BD.若∠ABC= α,则∠ADC= ______(用含α的代数式表示).

180° - α/2

∵AB=BD，
∴∠BAD=∠ADB=$\frac{180^\circ-\angle ABD}{2}$。
∵BC=BD，
∴∠BCD=∠BDC=$\frac{180^\circ-\angle CBD}{2}$。
∵∠ABC=α，∠ABD+∠CBD=∠ABC，
∴∠ADC=∠ADB+∠BDC
=$\frac{180^\circ-\angle ABD}{2}+\frac{180^\circ-\angle CBD}{2}$
=$\frac{360^\circ-(\angle ABD+\angle CBD)}{2}$
=$\frac{360^\circ-\alpha}{2}$
=180°-$\frac{\alpha}{2}$。
180°-$\frac{\alpha}{2}$

12. (2023·烟台)如图,C为线段AB上一点,分别以AC,BC为等腰三角形的底边,在AB的同侧作等腰三角形ACD和等腰三角形BCE,且∠A= ∠CBE.在线段EC上取一点F,使EF= AD,连接BF,DE.求证:DE= BF.
]

∵ △ACD，△BCE 分别是以 AC，BC 为底边的等腰三角形，
∴ AD=CD，CE=EB，
∴ ∠A=∠DCA.
∵ ∠A = ∠CBE，
∴ ∠CBE = ∠DCA，
∴ CD//BE，
∴ ∠DCE = ∠FEB.
∵ EF = AD，
∴ CD = EF. 在△DCE 和△FEB 中，CD=EF，∠DCE=∠FEB，CE=EB，
∴ △DCE ≌ △FEB（SAS），
∴ DE=BF

13. 如图,在△ABC中,∠BAC= 90°,E为边BC上的点,且AB= AE,D为线段BE的中点,过点E作EF⊥AE,过点A作AF//BC,且AF,EF相交于点F.求证:
(1)∠C= ∠BAD；
(2)AC= EF.
]

（1）
∵ AB=AE，D 为线段 BE 的中点，
∴ AD⊥BC，
∴ 在△ADC 中，∠C + ∠DAC = 90°.
∵ ∠BAC=90°，
∴ ∠BAD + ∠DAC=90°，
∴ ∠C=∠BAD （2）
∵ AF//BC，
∴ ∠FAE=∠AEB.
∵ AB=AE，
∴ ∠B=∠AEB，
∴ ∠B=∠FAE.
∵ EF⊥AE，
∴ ∠AEF=90°，
∴ ∠AEF = ∠BAC. 在△ABC 和△EAF 中，∠BAC=∠AEF，AB=EA，∠B=∠FAE，
∴ △ABC≌△EAF（ASA），
∴ AC=EF