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1. (2026·德州中考)如图,在$△ ABC$中,$AB=AC=5$,$BC=8$,则$\cos B$的值为 (
A.$\dfrac{3}{5}$
B.$\dfrac{4}{5}$
C.$\dfrac{3}{4}$
D.$\dfrac{5}{4}$
B
)A.$\dfrac{3}{5}$
B.$\dfrac{4}{5}$
C.$\dfrac{3}{4}$
D.$\dfrac{5}{4}$
答案
1. B 解析:如图,过点A作AM⊥BC于M,
∵ AB=AC=5,BC=8,
∴ BM=$\frac{1}{2}$BC=4.在Rt△ABM中,$\cos B=\frac{BM}{AB}=\frac{4}{5}$.
2. 如图,点O是正十二边形的中心,$OM⊥FG$于点M,则下面结论正确的是 (
A.$OM=OF· \sin 15°$
B.$OM=OF· \sin 30°$
C.$OM=OF· \cos 15°$
D.$OM=OF· \tan 15°$
C
)A.$OM=OF· \sin 15°$
B.$OM=OF· \sin 30°$
C.$OM=OF· \cos 15°$
D.$OM=OF· \tan 15°$
答案
2. C 解析:正十二边形的一个中心角为 30°.
∵ $OM ⊥ FG$,
∴ $∠FOM=15°$.在 Rt△OFM 中,$OM=OF · \cos 15°$.故选 C.
∵ $OM ⊥ FG$,
∴ $∠FOM=15°$.在 Rt△OFM 中,$OM=OF · \cos 15°$.故选 C.
3. (湘西州中考)如图,在$△ ABC$中,$∠ C = 90°$,$AC=12$,$AB$的垂直平分线$EF$交$AC$于点$D$,连接$BD$,若$\cos∠ BDC=\dfrac{5}{7}$,则$BC$的长是(
A.$10$
B.$8$
C.$4\sqrt{3}$
D.$2\sqrt{6}$
(第3题)
D
)A.$10$
B.$8$
C.$4\sqrt{3}$
D.$2\sqrt{6}$
(第3题)答案
3. D 解析:
∵ D 在线段 AB 的垂直平分线上,
∴ $DA=DB$.设$DB=DA=x$,在 Rt△BCD 中,$\cos∠BDC=\frac{DC}{DB}=\frac{5}{7}$,
∴ $DC=\frac{5}{7}x$.由 $AD+DC=AC=12$,得 $x=7$,$DC=5$.
∴ $BC = \sqrt{DB^2-DC^2} = 2\sqrt{6}$.故选 D.
∵ D 在线段 AB 的垂直平分线上,
∴ $DA=DB$.设$DB=DA=x$,在 Rt△BCD 中,$\cos∠BDC=\frac{DC}{DB}=\frac{5}{7}$,
∴ $DC=\frac{5}{7}x$.由 $AD+DC=AC=12$,得 $x=7$,$DC=5$.
∴ $BC = \sqrt{DB^2-DC^2} = 2\sqrt{6}$.故选 D.
4. (2026·广西中考)如图,在正方形ABCD中,E为CD边上一点,连接AE,BE.若AB=4,$\tan∠ DAE=\frac{1}{4}$,则BE=
5
.答案
4. 5 解析:
∵ 在正方形 ABCD 中,$AB=4$,
∴ $AB=BC=CD = AD=4$, $∠C = ∠D = 90°$.
∵ $\tan ∠DAE = \frac{1}{4}$,即 $\frac{DE}{AD} = \frac{1}{4}$,
∴ $DE=1$,
∴ $CE = CD - DE = 3$,
∴ 在 Rt△CBE 中, $BE = \sqrt{BC^2+CE^2} = \sqrt{4^2+3^2}=5$.
∵ 在正方形 ABCD 中,$AB=4$,
∴ $AB=BC=CD = AD=4$, $∠C = ∠D = 90°$.
∵ $\tan ∠DAE = \frac{1}{4}$,即 $\frac{DE}{AD} = \frac{1}{4}$,
∴ $DE=1$,
∴ $CE = CD - DE = 3$,
∴ 在 Rt△CBE 中, $BE = \sqrt{BC^2+CE^2} = \sqrt{4^2+3^2}=5$.
5. 如图, 在 $△ ABC$ 中, $∠ B = 30°, ∠ C = 45°$, AD 平分 $∠ BAC$, 交 BC 
于点 D, DE ⊥ AB, 垂足为 E. 若 DE = 1, 则 BC 的长为
于点 D, DE ⊥ AB, 垂足为 E. 若 DE = 1, 则 BC 的长为
2+√2
.答案
5. 2+√2 解析:如图,过点 D 作 $DF ⊥ AC$ 于点 F,则 $∠DFC= 90°$,
∵ $DE ⊥ AB$,
∴ $∠BED=90°$.
∵ $DE=1$, $∠B=30°$,
∴ $BD=2DE=2$.
∵ AD 平分 $∠BAC$ 交 BC 于点 D, $DE ⊥ AB$,$DE=1$,
∴ $DF=DE=1$.
∵ $∠C=45°$,
∴ $∠FDC=90°-∠C=45°$,
∴ $FC=DF=1$,
∴ $CD=\sqrt{FC^2+DF^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$,
∴ $BC=BD+CD=2+\sqrt{2}$.
6. (2024·浙江中考)如图,在$△ ABC$中,$AD ⊥ BC$,$AE$是$BC$边上的中线,$AB = 10$,$AD = 6$,$\tan∠ ACB = 1$.
(1)求$BC$的长;
(2)求$\sin∠ DAE$的值.
(1)求$BC$的长;
(2)求$\sin∠ DAE$的值.
答案
6. (1)在 Rt△ABD 中,$AB=10$,$AD=6$,
∴ $BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$.在 Rt△ADC 中,$\tan∠ACB=\frac{AD}{DC}=1$,
∴ $DC=6$,
∴ $BC=BD+DC=8+6=14$.
(2)
∵ AE 是 BC 边上的中线,
∴ $BE=\frac{1}{2}BC=7$,
∴ $DE=BD-BE=8-7=1$,
∴ $AE=\sqrt{AD^2+DE^2}=\sqrt{6^2+1^2}=\sqrt{37}$,
∴ $\sin∠DAE=\frac{DE}{AE}=\frac{1}{\sqrt{37}}=\frac{\sqrt{37}}{37}$.
∴ $BD=\sqrt{AB^2-AD^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$.在 Rt△ADC 中,$\tan∠ACB=\frac{AD}{DC}=1$,
∴ $DC=6$,
∴ $BC=BD+DC=8+6=14$.
(2)
∵ AE 是 BC 边上的中线,
∴ $BE=\frac{1}{2}BC=7$,
∴ $DE=BD-BE=8-7=1$,
∴ $AE=\sqrt{AD^2+DE^2}=\sqrt{6^2+1^2}=\sqrt{37}$,
∴ $\sin∠DAE=\frac{DE}{AE}=\frac{1}{\sqrt{37}}=\frac{\sqrt{37}}{37}$.
7. (2025·攀枝花中考)如图,已知在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$,$∠ A$,$∠ B$,$∠ C$的对边分别为$a$,$b$,$c$.
(1)根据锐角三角函数的定义,证明:$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$;
(2)若$\sin A = \frac{1}{3}$,求$\cos A$的值.
(1)根据锐角三角函数的定义,证明:$\sin^2 A + \cos^2 A = 1$;
(2)若$\sin A = \frac{1}{3}$,求$\cos A$的值.
答案
7. (1)
∵ 在 Rt△ABC 中,$∠C=90°$,$∠A$,$∠B$,$∠C$的对边分别为$a$,$b$,$c$.
∴ $\sin A=\frac{a}{c}$,$\cos A=\frac{b}{c}$,$a^2+b^2=c^2$,
∴ $\sin^2A+\cos^2A=\frac{a^2}{c^2}+\frac{b^2}{c^2}=\frac{a^2+b^2}{c^2}=\frac{c^2}{c^2}=1$.
(2)由(1)知,$\sin^2A+\cos^2A=1$,
∵ $\sin A = \frac{1}{3}$
∴ $(\frac{1}{3})^2 + \cos^2A=1$,
∴ $\cos^2A=\frac{8}{9}$,
∴ $\cos A=\sqrt{\frac{8}{9}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$(负值已舍去).
∵ 在 Rt△ABC 中,$∠C=90°$,$∠A$,$∠B$,$∠C$的对边分别为$a$,$b$,$c$.
∴ $\sin A=\frac{a}{c}$,$\cos A=\frac{b}{c}$,$a^2+b^2=c^2$,
∴ $\sin^2A+\cos^2A=\frac{a^2}{c^2}+\frac{b^2}{c^2}=\frac{a^2+b^2}{c^2}=\frac{c^2}{c^2}=1$.
(2)由(1)知,$\sin^2A+\cos^2A=1$,
∵ $\sin A = \frac{1}{3}$
∴ $(\frac{1}{3})^2 + \cos^2A=1$,
∴ $\cos^2A=\frac{8}{9}$,
∴ $\cos A=\sqrt{\frac{8}{9}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$(负值已舍去).
