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6.已知$\odot O$的半径为$10 cm$,$AB,CD$是$\odot O$的两条弦,$AB // CD$,$AB = 16 cm$,$CD = 12 \text{cm$,则弦$AB$和$CD$之间的距离是
14或2
$ cm$.答案
$14$或$2$
解析
本题可先根据圆的半径和弦长求出弦心距，再分情况讨论两弦的位置关系，进而求出两弦之间的距离。
步骤一：求弦$AB$的弦心距$OM$
过$O$作$OM\perp AB$于$M$，连接$OA$。
因为$OM\perp AB$，根据垂径定理可知$M$为$AB$中点，所以$AM=\frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}×16 = 8cm$。
已知$\odot O$的半径$OA = 10cm$，在$Rt\triangle OAM$中，根据勾股定理$a^2+b^2=c^2$（其中$c$为斜边，$a$、$b$为两直角边）可得：
$OM=\sqrt{OA^{2}-AM^{2}}=\sqrt{10^{2}-8^{2}}=\sqrt{100 - 64}=\sqrt{36}=6cm$。
步骤二：求弦$CD$的弦心距$ON$
过$O$作$ON\perp CD$于$N$，连接$OC$。
因为$ON\perp CD$，根据垂径定理可知$N$为$CD$中点，所以$CN=\frac{1}{2}CD = \frac{1}{2}×12 = 6cm$。
已知$\odot O$的半径$OC = 10cm$，在$Rt\triangle OCN$中，根据勾股定理可得：
$ON=\sqrt{OC^{2}-CN^{2}}=\sqrt{10^{2}-6^{2}}=\sqrt{100 - 36}=\sqrt{64}=8cm$。
步骤三：分情况讨论弦$AB$和$CD$之间的距离
因为$AB// CD$，所以分两种情况：
当弦$AB$和$CD$在圆心$O$的同侧时，两弦之间的距离为$ON - OM = 8 - 6 = 2cm$。
当弦$AB$和$CD$在圆心$O$的两侧时，两弦之间的距离为$ON + OM = 8 + 6 = 14cm$。
步骤一：求弦$AB$的弦心距$OM$
过$O$作$OM\perp AB$于$M$，连接$OA$。
因为$OM\perp AB$，根据垂径定理可知$M$为$AB$中点，所以$AM=\frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}×16 = 8cm$。
已知$\odot O$的半径$OA = 10cm$，在$Rt\triangle OAM$中，根据勾股定理$a^2+b^2=c^2$（其中$c$为斜边，$a$、$b$为两直角边）可得：
$OM=\sqrt{OA^{2}-AM^{2}}=\sqrt{10^{2}-8^{2}}=\sqrt{100 - 64}=\sqrt{36}=6cm$。
步骤二：求弦$CD$的弦心距$ON$
过$O$作$ON\perp CD$于$N$，连接$OC$。
因为$ON\perp CD$，根据垂径定理可知$N$为$CD$中点，所以$CN=\frac{1}{2}CD = \frac{1}{2}×12 = 6cm$。
已知$\odot O$的半径$OC = 10cm$，在$Rt\triangle OCN$中，根据勾股定理可得：
$ON=\sqrt{OC^{2}-CN^{2}}=\sqrt{10^{2}-6^{2}}=\sqrt{100 - 36}=\sqrt{64}=8cm$。
步骤三：分情况讨论弦$AB$和$CD$之间的距离
因为$AB// CD$，所以分两种情况：
当弦$AB$和$CD$在圆心$O$的同侧时，两弦之间的距离为$ON - OM = 8 - 6 = 2cm$。
当弦$AB$和$CD$在圆心$O$的两侧时，两弦之间的距离为$ON + OM = 8 + 6 = 14cm$。
7.如图,$AB$是$\odot O$的直径,$C,D$为半圆的3等分点,$CE\bot AB$于点$E$,则$\angle ACE$的度数为
30°
.答案
30°
解析
连接OC。因为AB是⊙O的直径，C为半圆的三等分点，所以半圆AB的度数为180°，弧AC的度数为180°÷3=60°，故圆心角∠AOC=60°。
由于OA=OC（半径相等），所以△AOC是等边三角形，∠OAC=60°。
因为CE⊥AB，所以∠AEC=90°。在Rt△ACE中，∠ACE=90°-∠OAC=90°-60°=30°。
由于OA=OC（半径相等），所以△AOC是等边三角形，∠OAC=60°。
因为CE⊥AB，所以∠AEC=90°。在Rt△ACE中，∠ACE=90°-∠OAC=90°-60°=30°。
8.如图,点$A,B,C$都在$\odot O$上,$OC\bot OB$,点$A$在$\overset{\frown} {BC}$上,且$OA = AB$,则$\angle ABC =$
$ °$.
$ °$.
答案
15
解析
∵OC⊥OB，∴∠COB=90°，且OB=OC=OA（半径）.
∵OA=AB，OA=OB，∴OA=OB=AB，△OAB为等边三角形，∴∠AOB=60°.
∵∠AOB+∠AOC=∠COB=90°，∴∠AOC=90°-60°=30°，即弧AC=30°.
∠ABC为圆周角，所对弧为弧AC，根据圆周角定理，∠ABC=1/2×弧AC=1/2×30°=15°.
∵OA=AB，OA=OB，∴OA=OB=AB，△OAB为等边三角形，∴∠AOB=60°.
∵∠AOB+∠AOC=∠COB=90°，∴∠AOC=90°-60°=30°，即弧AC=30°.
∠ABC为圆周角，所对弧为弧AC，根据圆周角定理，∠ABC=1/2×弧AC=1/2×30°=15°.
9.如图,$AB$为$\odot O$的直径,弦$CD\bot AB$于点$E$.已知$CD = 6$,$EB = 1$,则$\odot O$的半径为
.
5
.
答案
5
解析
连接OC，设⊙O的半径为r，则OE = r - EB = r - 1。
∵AB为直径，CD⊥AB，CD=6，
∴CE = CD/2 = 3。
在Rt△OCE中，OC² = OE² + CE²，即r² = (r - 1)² + 3²。
解得r = 5。
∵AB为直径，CD⊥AB，CD=6，
∴CE = CD/2 = 3。
在Rt△OCE中，OC² = OE² + CE²，即r² = (r - 1)² + 3²。
解得r = 5。
10.如图,动点$C$在$\odot O$的弦$AB$上运动,$AB = 2\sqrt{3}$,连接$OC$,过点$C$作$CD\bot OC$,交$\odot O$于点
$D$,则$CD$的最大值为
$D$,则$CD$的最大值为
√3
.答案
√3
解析
连接OD，设⊙O半径为r。∵CD⊥OC，∴△OCD为直角三角形，由勾股定理得CD²=OD²-OC²=r²-OC²，要使CD最大，则需OC最小。根据垂线段最短，当OC⊥AB时OC最小，设此时OC=OM=d（M为垂足）。由垂径定理，AM=AB/2=√3，在Rt△OAM中，OA²=OM²+AM²，即r²=d²+(√3)²，得r²-d²=3。故CD最大值=√(r²-d²)=√3。
11.(7分)如图,$BD,CE$都是$\triangle ABC$的高.
求证:$B,C,D,E$四点在同一个圆上.
求证:$B,C,D,E$四点在同一个圆上.
答案
取 $BC$ 的中点 $O$，连接 $OE$，$OD$。
因为 $OE、OD$ 是 $Rt\triangle BCE$、$Rt\triangle BCD$ 的斜边边上的中线，
所以 $OE = OD =\frac12BC= OB = OC$。
所以 $B，C，D，E$ 四点在以 $O$ 为圆心，$BC$ 为直径的圆上。
因为 $OE、OD$ 是 $Rt\triangle BCE$、$Rt\triangle BCD$ 的斜边边上的中线，
所以 $OE = OD =\frac12BC= OB = OC$。
所以 $B，C，D，E$ 四点在以 $O$ 为圆心，$BC$ 为直径的圆上。
