8.若关于$x$的分式方程$\frac{3 - mx}{x - 2}=5$与方程$\frac{2x + 1}{x - 1}=3$的解相同,则$m$的值为 ()

A.$-\frac{7}{4}$
B.$\frac{7}{4}$
C.$-\frac{4}{7}$
D.$\frac{4}{7}$

A

首先解方程$\frac{2x + 1}{x - 1} = 3$，
去分母，得$2x + 1 = 3(x - 1)$，
展开右侧，得$2x + 1 = 3x - 3$，
移项并合并同类项，得$-x = -4$，
解得$x = 4$。
将$x = 4$代入方程$\frac{3 - mx}{x - 2} = 5$中，
得$\frac{3 - 4m}{4 - 2} = 5$，
即$\frac{3 - 4m}{2} = 5$，
去分母，得$3 - 4m = 10$，
移项并合并同类项，得$-4m = 7$，
解得$m = -\frac{7}{4}$。

9.若关于$x$的分式方程$\frac{m}{x - 1}-\frac{3}{1 - x}=1$有增根,则$m$的值为 ()

A.2
B.1
C.3
D.-3

D

首先将分式方程化为整式方程，方程$\frac{m}{x - 1} - \frac{3}{1 - x} = 1$，
分母$x-1$和$1-x$互为相反数，因此将第二项变形：
$\frac{m}{x - 1} + \frac{3}{x - 1} = 1$，
合并同类项得：
$\frac{m + 3}{x - 1} = 1$，
去分母得整式方程：
$m + 3 = x - 1$，
即$x = m + 4$。
增根是使分式方程分母为0的根，即$x - 1 = 0$，$x = 1$。
将$x = 1$代入整式方程：
$1 = m + 4$，
解得：
$m = -3$。

10.八年级学生去距学校10千米的博物馆参观,一部分学生骑自行车先走,过了20分钟后,其余学生乘汽车出发,结果他们同时到达,已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍.设骑车学生的速度为$x$千米/时,则所列方程正确的是 ()

A.$\frac{10}{x}-\frac{10}{2x}=20$
B.$\frac{10}{2x}-\frac{10}{x}=20$
C.$\frac{10}{x}-\frac{10}{2x}=\frac{1}{3}$
D.$\frac{10}{2x}-\frac{10}{x}=\frac{1}{3}$

C

设骑车学生的速度为x千米/时，则汽车速度为2x千米/时。
骑车学生用时为$\frac{10}{x}$小时，汽车用时为$\frac{10}{2x}$小时。
根据题意，骑车学生比汽车多用了20分钟（即$\frac{1}{3}$小时），因此方程为：
$\frac{10}{x} - \frac{10}{2x} = \frac{1}{3} $

11.一张新版100元人民币的厚度约为0.000 09米.数据“0.000 09”用科学记数法表示为.

$9×10^{-5}$

科学记数法的表示形式为$a×10^n$，其中$1≤|a|\lt10$，$n$为整数。确定$n$的值时，要看把原数变成$a$时，小数点移动了多少位，$n$的值与小数点移动的位数相同。当原数绝对值$\lt1$时，$n$是负数。
将$0.00009$转变为$a×10^n$的形式，$a=9$，小数点向右移动了$5$位，所以$n=-5$，即$0.00009=9×10^{-5}$。

12.若分式$\frac{x^{2}-1}{2x + 2}$的值为0,则$x$的值为.

$1$

要使分式$\frac{x^{2}-1}{2x + 2}$的值为0，则分子$x^2 - 1 = 0$，且分母$2x + 2 \neq 0$。
由$x^2 - 1 = 0$，得$x = \pm 1$。
由$2x + 2 \neq 0$，得$x \neq -1$。
综上，$x = 1$。

13.若$a = (-3)^{0},b = (-3)^{-2},c = -3^{2},d = (-3)^{2}$,则$a,b,c,d$用“$＞$”连接起来,应是.

$d＞a＞b＞c$

$a = (-3)^0 = 1$；
$b = (-3)^{-2} = \frac{1}{(-3)^2} = \frac{1}{9}$；
$c = -3^2 = -9$；
$d = (-3)^2 = 9$；
比较大小：$9＞1＞\frac{1}{9}＞-9$，即$d＞a＞b＞c$。

14.若$4a^{2}+b^{2}-5ab = 0$,则$\frac{2a + b}{b - 2a}$的值为.

$3$或$-3$

15.某网店用5 000元购进一批新品种草莓进行试销,由于销售状况良好,网店第二次又用11 000元购进该品种草莓,但第二次的进货价比试销时每千克多了0.5元,第二次购进的草莓数量是试销时的2倍,则试销时该品种草莓的进货价是元/千克.

【解析】：设试销时该品种草莓的进货价是$x$元/千克，则第一次购进的数量为$\frac{5000}{x}$千克。第二次进货价为$(x + 0.5)$元/千克，购进数量为$\frac{11000}{x + 0.5}$千克。依题意，第二次购进数量是第一次的2倍，可得方程：$\frac{11000}{x + 0.5} = 2×\frac{5000}{x}$。化简得$\frac{11000}{x + 0.5} = \frac{10000}{x}$，交叉相乘得$11000x = 10000(x + 0.5)$，解得$x = 5$。经检验，$x = 5$是原方程的解且符合题意。
【答案】：5

设试销时该品种草莓的进货价是$x$元/千克，
则第一次进货数量为$\frac{5000}{x}$千克，
第二次进货价为$(x + 0.5)$元/千克，
第二次进货数量为$\frac{11000}{x + 0.5}$千克。
根据题意，第二次购进的草莓数量是试销时的2倍，所以有方程：
$2 × \frac{5000}{x} = \frac{11000}{x + 0.5}$，
化简得：
$\frac{10000}{x} = \frac{11000}{x + 0.5}$，
交叉相乘得：
$10000(x + 0.5) = 11000x$，
$10000x + 5000 = 11000x$，
$1000x = 5000$，
$x = 5$，
经检验，$x = 5$是原方程的解，且符合题意。

16.(6分)计算：
(1)$(-\frac{1}{2})^{-2}-(3.14-\pi)^{0}×(-1)^{2025}+(-2)^{3}$;
(2)$(\frac{x^{2}}{x + 1}-x + 1)÷\frac{x - 1}{x^{2}+2x + 1}$.

(1)
首先计算负整数指数幂：
$(-\frac{1}{2})^{-2} = 4$
接着计算零指数幂：
$(3.14 - \pi)^{0} = 1$
然后计算奇次幂：
$(-1)^{2025} = -1$
再计算乘方：
$(-2)^{3} = -8$
最后进行加减运算：
$4 - 1 × (-1) + (-8) = 4 + 1 - 8 = -3$
(2)
首先对括号内的分式进行通分：
$\frac{x^{2}}{x + 1} - x + 1 = \frac{x^{2}}{x + 1} - \frac{x(x + 1)}{x + 1} + \frac{x + 1}{x + 1} = \frac{x^{2} - x^{2} - x + x + 1}{x + 1} = \frac{1}{x + 1}$
接着将除法转化为乘法，并化简：
$(\frac{1}{x + 1}) ÷ \frac{x - 1}{x^{2} + 2x + 1} = \frac{1}{x + 1} × \frac{(x + 1)^{2}}{x - 1} = \frac{x + 1}{x - 1}$