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1 [2025 海安模拟]甲、乙两人共同处理一批数据，已知乙单独处理数据的时间比甲少 2 h，若两人合作处理，则仅需 1.2 h 即可完成. 设甲单独处理需要 $x\ \mathrm{h}$，则下列方程正确的是（
A.$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x-2}=1.2$
B.$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x+2}=1.2$
C.$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x-2}=\dfrac{1}{1.2}$
D.$x+(x-2)=1.2$
C
）A.$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x-2}=1.2$
B.$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x+2}=1.2$
C.$\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x-2}=\dfrac{1}{1.2}$
D.$x+(x-2)=1.2$
答案
1. C
解析
【分析】本题属于工程问题，核心是利用“工作效率=工作总量÷工作时间”的关系，将总工作量看作单位“1”。先根据甲单独处理的时间表示出乙单独处理的时间，再分别求出甲、乙的工作效率，最后结合合作的工作效率与合作时间的关系列出方程。
【解析】设甲单独处理需要$x\ \mathrm{h}$，则乙单独处理需要$(x - 2)\ \mathrm{h}$。把总工作量看作单位“1”，甲的工作效率为$\frac{1}{x}$，乙的工作效率为$\frac{1}{x - 2}$。两人合作的工作效率为甲、乙效率之和，即$\frac{1}{x} + \frac{1}{x - 2}$；又已知两人合作需1.2h完成，合作的工作效率也等于总工作量除以合作时间，即$\frac{1}{1.2}$，因此可列方程：$\frac{1}{x} + \frac{1}{x - 2} = \frac{1}{1.2}$，对应选项C。
【答案】C
【知识点】分式方程应用、工程问题
【点评】本题考查工程类分式方程的应用，关键是理清工作效率、工作时间、工作总量的关系，明确合作效率为两人效率之和，是初中阶段常见的基础应用题。
【难度系数】0.6
【解析】设甲单独处理需要$x\ \mathrm{h}$，则乙单独处理需要$(x - 2)\ \mathrm{h}$。把总工作量看作单位“1”，甲的工作效率为$\frac{1}{x}$，乙的工作效率为$\frac{1}{x - 2}$。两人合作的工作效率为甲、乙效率之和，即$\frac{1}{x} + \frac{1}{x - 2}$；又已知两人合作需1.2h完成，合作的工作效率也等于总工作量除以合作时间，即$\frac{1}{1.2}$，因此可列方程：$\frac{1}{x} + \frac{1}{x - 2} = \frac{1}{1.2}$，对应选项C。
【答案】C
【知识点】分式方程应用、工程问题
【点评】本题考查工程类分式方程的应用，关键是理清工作效率、工作时间、工作总量的关系，明确合作效率为两人效率之和，是初中阶段常见的基础应用题。
【难度系数】0.6
2 已知 A,C 两地相距 40 km,B,C 两地相距 50 km,甲、乙两车分别从 A,B 两地同时出发前往C 地.若乙车每小时比甲车多行驶 12 km,则两车同时到达 C 地. 设乙车的速度为 $x\ \mathrm{km/h}$,则依题意所列方程正确的是（
A.$\dfrac{40}{x}=\dfrac{50}{x-12}$
B.$\dfrac{40}{x-12}=\dfrac{50}{x}$
C.$\dfrac{40}{x}=\dfrac{50}{x+12}$
D.$\dfrac{40}{x+12}=\dfrac{50}{x}$
B
）A.$\dfrac{40}{x}=\dfrac{50}{x-12}$
B.$\dfrac{40}{x-12}=\dfrac{50}{x}$
C.$\dfrac{40}{x}=\dfrac{50}{x+12}$
D.$\dfrac{40}{x+12}=\dfrac{50}{x}$
答案
2. B
解析
【分析】要解决这道题，需利用行程问题中“时间=路程÷速度”的关系，结合“两车同时到达C地”的条件，明确两车行驶时间相等的等量关系。已知乙车速度为$x\ \mathrm{km/h}$，根据乙车与甲车的速度差推出甲车速度，再分别表示两车从出发地到C地的时间，最后依据时间相等列方程即可。
【解析】解：已知乙车速度为$x\ \mathrm{km/h}$，因乙车每小时比甲车多行驶12 km，故甲车速度为$(x - 12)\ \mathrm{km/h}$。
根据“时间=路程÷速度”，甲车从A地到C地的时间为$\dfrac{40}{x - 12}\ \mathrm{h}$，乙车从B地到C地的时间为$\dfrac{50}{x}\ \mathrm{h}$。
由于两车同时到达C地，即行驶时间相等，因此可列方程：$\dfrac{40}{x - 12} = \dfrac{50}{x}$，对应选项B。
【答案】B
【知识点】分式方程的应用、行程问题
【点评】本题是分式方程在行程问题中的基础应用，核心是将“同时到达”转化为时间相等的等量关系，理清速度、路程、时间三者的关系即可顺利解题，属于难度较低的基础题。
【难度系数】0.7
【解析】解：已知乙车速度为$x\ \mathrm{km/h}$，因乙车每小时比甲车多行驶12 km，故甲车速度为$(x - 12)\ \mathrm{km/h}$。
根据“时间=路程÷速度”，甲车从A地到C地的时间为$\dfrac{40}{x - 12}\ \mathrm{h}$，乙车从B地到C地的时间为$\dfrac{50}{x}\ \mathrm{h}$。
由于两车同时到达C地，即行驶时间相等，因此可列方程：$\dfrac{40}{x - 12} = \dfrac{50}{x}$，对应选项B。
【答案】B
【知识点】分式方程的应用、行程问题
【点评】本题是分式方程在行程问题中的基础应用，核心是将“同时到达”转化为时间相等的等量关系，理清速度、路程、时间三者的关系即可顺利解题，属于难度较低的基础题。
【难度系数】0.7
3 教材 P169 习题 18.5 第 3 题变式 随着国家提倡节能减排，新能源车已成为时代“宠儿”.端午节，君君一家驾驶新购买的新能源车，去相距 180 km 的古镇旅行，原计划以 $v$ km/h 的速度匀速行驶，因急事以原计划速度的 1.2 倍匀速行驶，结果比原计划提前了 0.5 h 到达，则原计划的速度为
60
km/h.答案
3. 60
解析
【分析】本题是行程类的分式方程应用题，解题思路是：根据“时间=路程÷速度”，分别表示出原计划行驶时间和实际行驶时间，再利用“实际比原计划提前0.5h到达”这一条件，建立关于原计划速度的分式方程，解方程并检验解的合理性，即可得到原计划速度。
【解析】设原计划的速度为$ v $ km/h，则实际行驶速度为$ 1.2v $ km/h。
根据“时间=路程÷速度”，原计划行驶时间为$ \frac{180}{v} $ h，实际行驶时间为$ \frac{180}{1.2v} $ h。
由“比原计划提前0.5h到达”，可列方程：
$\frac{180}{v} - \frac{180}{1.2v} = 0.5$
化简方程左边：
$\frac{180}{v} - \frac{150}{v} = \frac{30}{v}$
则方程变为：
$\frac{30}{v} = 0.5$
解得：$ v = 60 $。
检验：当$ v = 60 $时，$ 1.2v = 72 ≠ 0 $，且符合实际行驶速度的意义，故$ v = 60 $是原方程的解。
【答案】60
【知识点】分式方程的应用、行程问题
【点评】本题考查分式方程在行程问题中的应用，核心是找准时间差的等量关系，解分式方程后需检验解的合理性，属于基础应用题，难度适中。
【难度系数】0.7
【解析】设原计划的速度为$ v $ km/h，则实际行驶速度为$ 1.2v $ km/h。
根据“时间=路程÷速度”，原计划行驶时间为$ \frac{180}{v} $ h，实际行驶时间为$ \frac{180}{1.2v} $ h。
由“比原计划提前0.5h到达”，可列方程：
$\frac{180}{v} - \frac{180}{1.2v} = 0.5$
化简方程左边：
$\frac{180}{v} - \frac{150}{v} = \frac{30}{v}$
则方程变为：
$\frac{30}{v} = 0.5$
解得：$ v = 60 $。
检验：当$ v = 60 $时，$ 1.2v = 72 ≠ 0 $，且符合实际行驶速度的意义，故$ v = 60 $是原方程的解。
【答案】60
【知识点】分式方程的应用、行程问题
【点评】本题考查分式方程在行程问题中的应用，核心是找准时间差的等量关系，解分式方程后需检验解的合理性，属于基础应用题，难度适中。
【难度系数】0.7
4 [2025 南通期末]小华计划购买 A,B 两种笔记本. 已知 A,B 两种笔记本的单价比是 $3:2$,用 480 元购买 A 种笔记本的数量比用 360 元购买 B 种笔记本的数量少 2 本,求 A,B 两种笔记本的单价.
答案
4. 设 A 种笔记本的单价为 3x 元,则B种笔记本的单价为2x 元.
由题意,得$\dfrac{480}{3x}=\dfrac{360}{2x}-2$,解得 $x=10$. 经检验,$x=10$ 是原方程的解,且符合题意. $\therefore 3x=30,2x=20$,即 A 种笔记本的单价为30 元,B种笔记本的单价为 20 元
由题意,得$\dfrac{480}{3x}=\dfrac{360}{2x}-2$,解得 $x=10$. 经检验,$x=10$ 是原方程的解,且符合题意. $\therefore 3x=30,2x=20$,即 A 种笔记本的单价为30 元,B种笔记本的单价为 20 元
解析
【分析】
已知A、B两种笔记本的单价比为3:2，因此设A单价为3x元、B单价为2x元可简化计算；根据“数量=总价÷单价”，分别表示出购买A、B的数量，再结合“A的数量比B少2本”的等量关系列出分式方程，求解后检验解的合理性，最终计算出两种笔记本的单价。
【解析】
设A种笔记本的单价为3x元，则B种笔记本的单价为2x元。
根据题意，购买A的数量为$\dfrac{480}{3x}$本，购买B的数量为$\dfrac{360}{2x}$本，且A的数量比B少2本，可列方程：
$\dfrac{480}{3x}=\dfrac{360}{2x}-2$
化简方程：
左边$\dfrac{480}{3x}=\dfrac{160}{x}$，右边$\dfrac{360}{2x}=\dfrac{180}{x}$，方程变为$\dfrac{160}{x}=\dfrac{180}{x}-2$
移项得：$\dfrac{180}{x}-\dfrac{160}{x}=2$，即$\dfrac{20}{x}=2$，解得$x=10$。
经检验，$x=10$是原分式方程的解，且单价为正数，符合实际题意。
因此，A种笔记本的单价为$3x=3×10=30$元，B种笔记本的单价为$2x=2×10=20$元。
【答案】
A种笔记本的单价为30元，B种笔记本的单价为20元
【知识点】
分式方程的应用、比例的应用
【点评】
本题是分式方程在实际购物场景中的典型应用，核心是利用单价比设未知数简化计算，关键是找准数量差的等量关系；需注意分式方程求解后必须检验解是否符合实际意义，避免出现不合理的结果。
【难度系数】
0.6
已知A、B两种笔记本的单价比为3:2，因此设A单价为3x元、B单价为2x元可简化计算；根据“数量=总价÷单价”，分别表示出购买A、B的数量，再结合“A的数量比B少2本”的等量关系列出分式方程，求解后检验解的合理性，最终计算出两种笔记本的单价。
【解析】
设A种笔记本的单价为3x元，则B种笔记本的单价为2x元。
根据题意，购买A的数量为$\dfrac{480}{3x}$本，购买B的数量为$\dfrac{360}{2x}$本，且A的数量比B少2本，可列方程：
$\dfrac{480}{3x}=\dfrac{360}{2x}-2$
化简方程：
左边$\dfrac{480}{3x}=\dfrac{160}{x}$，右边$\dfrac{360}{2x}=\dfrac{180}{x}$，方程变为$\dfrac{160}{x}=\dfrac{180}{x}-2$
移项得：$\dfrac{180}{x}-\dfrac{160}{x}=2$，即$\dfrac{20}{x}=2$，解得$x=10$。
经检验，$x=10$是原分式方程的解，且单价为正数，符合实际题意。
因此，A种笔记本的单价为$3x=3×10=30$元，B种笔记本的单价为$2x=2×10=20$元。
【答案】
A种笔记本的单价为30元，B种笔记本的单价为20元
【知识点】
分式方程的应用、比例的应用
【点评】
本题是分式方程在实际购物场景中的典型应用，核心是利用单价比设未知数简化计算，关键是找准数量差的等量关系；需注意分式方程求解后必须检验解是否符合实际意义，避免出现不合理的结果。
【难度系数】
0.6
5 某地决定对一段长 7 000 m 的公路进行修建改造,根据需要,该工程在实际施工时增加了施工人员,每天修建的公路长度比原计划增加了 40%,结果提前 5 天完成任务. 设原计划每天修建公路$x\ \mathrm{m}$,那么下列方程正确的是（
A.$\dfrac{7\ 000}{x}+5=\dfrac{7\ 000}{(1+40\%)x}$
B.$\dfrac{7\ 000}{x}=\dfrac{7\ 000}{(1-40\%)x}-5$
C.$\dfrac{7\ 000}{x}-5=\dfrac{7\ 000}{(1+40\%)x}$
D.$\dfrac{7\ 000}{x}=\dfrac{7\ 000}{(1-40\%)x}+5$
C
）A.$\dfrac{7\ 000}{x}+5=\dfrac{7\ 000}{(1+40\%)x}$
B.$\dfrac{7\ 000}{x}=\dfrac{7\ 000}{(1-40\%)x}-5$
C.$\dfrac{7\ 000}{x}-5=\dfrac{7\ 000}{(1+40\%)x}$
D.$\dfrac{7\ 000}{x}=\dfrac{7\ 000}{(1-40\%)x}+5$
答案
5. C
解析
【分析】
这是一道工程类分式方程应用题，解题思路是先根据原计划和实际的工作效率，分别表示出各自的工作时间，再利用“提前5天完成任务”的条件，找出原计划时间与实际时间的等量关系，进而匹配正确选项。具体步骤：①原计划每天修$x\ \mathrm{m}$，总长度7000m，因此原计划时间为$\frac{7000}{x}$天；②实际效率比原计划增加40%，即实际每天修$(1+40\%)x\ \mathrm{m}$，实际时间为$\frac{7000}{(1+40\%)x}$天；③根据“提前5天完成”，可知原计划时间减去5天等于实际时间，据此推导方程。
【解析】
解：设原计划每天修建公路$x\ \mathrm{m}$，则实际每天修建公路$(1+40\%)x\ \mathrm{m}$。
1. 原计划完成任务的时间：$\frac{工作总量}{原计划效率}=\frac{7000}{x}$天；
2. 实际完成任务的时间：$\frac{工作总量}{实际效率}=\frac{7000}{(1+40\%)x}$天；
3. 由“提前5天完成”得等量关系：原计划时间 - 5天 = 实际时间，即$\frac{7000}{x} - 5 = \frac{7000}{(1+40\%)x}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
分式方程应用、工程问题
【点评】
本题考查工程问题的分式方程应用，核心是找准时间差的等量关系，需熟练掌握工作总量、工作效率、工作时间三者的关系，属于基础应用题，是分式方程应用的典型题型。
【难度系数】
0.6
这是一道工程类分式方程应用题，解题思路是先根据原计划和实际的工作效率，分别表示出各自的工作时间，再利用“提前5天完成任务”的条件，找出原计划时间与实际时间的等量关系，进而匹配正确选项。具体步骤：①原计划每天修$x\ \mathrm{m}$，总长度7000m，因此原计划时间为$\frac{7000}{x}$天；②实际效率比原计划增加40%，即实际每天修$(1+40\%)x\ \mathrm{m}$，实际时间为$\frac{7000}{(1+40\%)x}$天；③根据“提前5天完成”，可知原计划时间减去5天等于实际时间，据此推导方程。
【解析】
解：设原计划每天修建公路$x\ \mathrm{m}$，则实际每天修建公路$(1+40\%)x\ \mathrm{m}$。
1. 原计划完成任务的时间：$\frac{工作总量}{原计划效率}=\frac{7000}{x}$天；
2. 实际完成任务的时间：$\frac{工作总量}{实际效率}=\frac{7000}{(1+40\%)x}$天；
3. 由“提前5天完成”得等量关系：原计划时间 - 5天 = 实际时间，即$\frac{7000}{x} - 5 = \frac{7000}{(1+40\%)x}$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
分式方程应用、工程问题
【点评】
本题考查工程问题的分式方程应用，核心是找准时间差的等量关系，需熟练掌握工作总量、工作效率、工作时间三者的关系，属于基础应用题，是分式方程应用的典型题型。
【难度系数】
0.6
