1 分式$\dfrac{b}{ax},-\dfrac{c}{3b},\dfrac{a}{5x^{2}}$的最简公分母是（）

A.$5abx$
B.$5abx^{3}$
C.$15abx$
D.$15abx^{2}$

1. D

【分析】求几个分式的最简公分母，需按以下步骤进行：①确定各分母系数的最小公倍数；②找出所有分母中出现的字母（或因式）；③取各字母（或因式）的最高次幂，将其与系数的最小公倍数相乘，结果即为最简公分母。
【解析】三个分式的分母分别为$ax$、$3b$、$5x^2$：
1. 系数部分：1、3、5的最小公倍数是15；
2. 字母部分：分母中出现的字母为$a$、$b$、$x$，其中$a$的最高次幂是1次，$b$的最高次幂是1次，$x$的最高次幂是2次；
3. 组合后最简公分母为$15abx^2$。
【答案】D
【知识点】分式的最简公分母
【点评】本题考查分式最简公分母的确定方法，属于基础题型，掌握核心求法即可快速解答。
【难度系数】0.3

2 [2025 海安期末]下列各式属于最简分式的为（）

A.$\dfrac{4y+2x}{4a}$
B.$\dfrac{y-x}{x-y}$
C.$\dfrac{x^2+1}{x-1}$
D.$\dfrac{x^2-1}{x+1}$

2. C

【分析】要判断一个分式是否为最简分式，核心是看分子与分母是否存在公因式，若不存在公因式则为最简分式。需对各选项的分子、分母进行因式分解，再逐一排查公因式。
【解析】
选项A：分子$4y+2x=2(2y+x)$，分母为$4a$，分子与分母有公因式$2$，不是最简分式；
选项B：分子$y-x=-(x-y)$，分母为$x-y$，分子与分母有公因式$x-y$，不是最简分式；
选项C：分子$x^2+1$无法因式分解，分母为$x-1$，分子与分母没有公因式，是最简分式；
选项D：分子$x^2-1=(x+1)(x-1)$，分母为$x+1$，分子与分母有公因式$x+1$，不是最简分式。
综上，答案选C。
【答案】C
【知识点】最简分式的判定、因式分解
【点评】本题考查最简分式的概念，需通过因式分解判断分子分母是否有公因式，属于分式章节的基础题型，难度较低，学生掌握因式分解方法即可解答。
【难度系数】0.7

3 (1) 分式$\dfrac{9a^{2}b^{2}}{3a^{2}b-6ab^{2}}$的分子和分母的公因式为；
(2) 分式$\dfrac{x}{2x^{2}-4x+2}$与$\dfrac{x-1}{4-4x}$的最简公分母为.

3. (1) 3ab (2) $4(x-1)^2$

【分析】
要解决这两个问题，需明确公因式和最简公分母的确定方法：1. 找分式分子分母的公因式：先分别对分子、分母因式分解，再找出共有的因式；2. 找分式的最简公分母：先将各分式的分母因式分解，再取各分母所有因式的最高次幂的乘积，系数取各系数的最小公倍数。
【解析】
(1) 分解分子和分母：
分子：$9a^2b^2 = 3ab · 3ab$；
分母：$3a^2b - 6ab^2 = 3ab(a - 2b)$；
因此分子和分母的公因式为$3ab$。
(2) 分解两个分式的分母：
第一个分母：$2x^2 - 4x + 2 = 2(x^2 - 2x + 1) = 2(x - 1)^2$；
第二个分母：$4 - 4x = -4(x - 1)$；
最简公分母需取系数的最小公倍数（2和4的最小公倍数为4），以及因式$(x - 1)$的最高次幂（2次），因此最简公分母为$4(x - 1)^2$。
【答案】
3. (1) $3ab$ (2) $4(x-1)^2$
【知识点】
分式的公因式；最简公分母
【点评】
本题考查分式中公因式和最简公分母的确定，属于分式运算的基础知识点，难度不大，掌握因式分解基本方法即可正确解答。
【难度系数】
0.7

4 教材 P144 练习第 1 题变式 约分：
(1) $\dfrac{7mn^{2}}{an^{2}}$;
(2) $\dfrac{a^{2}b-ab^{2}}{ab^{3}}$;
(3) $\dfrac{a^{2}-9b^{2}}{(a+3b)^{2}}.$

4. (1) $\dfrac{7m}{a}$ (2) $\dfrac{a-b}{b^{2}}$ (3) $\dfrac{a-3b}{a+3b}$

【分析】
约分的核心是确定分子与分母的公因式，步骤为：先对分子、分母进行因式分解，再找出公因式并约去，最终结果需为最简分式。对于单项式分式，直接找系数最大公约数、相同字母最低次幂确定公因式；对于多项式分式，先通过提公因式或公式法分解因式，再找公因式约分。
【解析】
(1) 分子分母为单项式，公因式为$n^2$，约分得：$\dfrac{7mn^2}{an^2}=\dfrac{7m}{a}$；
(2) 先分解分子：$a^2b - ab^2=ab(a - b)$，分母为$ab^3$，公因式为$ab$，约分得：$\dfrac{ab(a - b)}{ab^3}=\dfrac{a - b}{b^2}$；
(3) 先分解分子：$a^2 -9b^2=(a+3b)(a-3b)$，分母为$(a+3b)^2=(a+3b)(a+3b)$，公因式为$(a+3b)$，约分得：$\dfrac{(a+3b)(a-3b)}{(a+3b)(a+3b)}=\dfrac{a-3b}{a+3b}$。
【答案】
(1) $\dfrac{7m}{a}$；(2) $\dfrac{a-b}{b^2}$；(3) $\dfrac{a-3b}{a+3b}$
【知识点】
分式的约分、因式分解（提公因式法、平方差公式）
【点评】
本题是分式约分的基础题型，考查分式约分的基本方法，需熟练掌握单项式与多项式的因式分解技巧，准确识别公因式，约分后结果需为最简分式，是后续分式运算的重要基础。
【难度系数】
0.6

5 教材 P145 习题 18.1 第7题变式 通分：
(1) $\dfrac{2y}{3a}$与$\dfrac{5b}{8y}$；
(2) $\dfrac{a}{x(a+3)}$与$\dfrac{b}{2y(a+3)}$.

5. (1) $\dfrac{16y^{2}}{24ay}$与$\dfrac{15ab}{24ay}$ (2) $\dfrac{2ay}{2xy(a+3)}$与$\dfrac{bx}{2xy(a+3)}$

【分析】通分的核心是确定最简公分母，步骤为：①取各分母系数的最小公倍数；②单独出现的字母（或含字母的因式）连同最高次幂作为公分母的因式；③将各分式的分子、分母同乘适当整式，使分母变为最简公分母，分子同步变化即可。
【解析】
(1) 对$\dfrac{2y}{3a}$与$\dfrac{5b}{8y}$，最简公分母为$24ay$：
$\dfrac{2y}{3a}=\dfrac{2y×8y}{3a×8y}=\dfrac{16y^2}{24ay}$，
$\dfrac{5b}{8y}=\dfrac{5b×3a}{8y×3a}=\dfrac{15ab}{24ay}$；
(2) 对$\dfrac{a}{x(a+3)}$与$\dfrac{b}{2y(a+3)}$，最简公分母为$2xy(a+3)$：
$\dfrac{a}{x(a+3)}=\dfrac{a×2y}{x(a+3)×2y}=\dfrac{2ay}{2xy(a+3)}$，
$\dfrac{b}{2y(a+3)}=\dfrac{b× x}{2y(a+3)× x}=\dfrac{bx}{2xy(a+3)}$。
【答案】
(1) $\dfrac{16y^{2}}{24ay}$，$\dfrac{15ab}{24ay}$；(2) $\dfrac{2ay}{2xy(a+3)}$，$\dfrac{bx}{2xy(a+3)}$
【知识点】
分式的通分，最简公分母
【点评】
本题考查分式通分的基础运算，关键是准确确定最简公分母，计算时需保证分子分母同乘的整式一致，属于分式章节的基础题型，难度较低。
【难度系数】
0.3

6 下列约分正确的是（）

A.$\dfrac{a^{9}}{a^{3}}=a^{3}$
B.$\dfrac{x+1}{x+1}=0$
C.$\dfrac{x^{2}+2x+1}{x+1}=x+1$
D.$\dfrac{a^{2}+b^{2}}{a+b}=a+b$

6. C

【分析】本题考查分式约分的正确性判断，解题思路是依据分式的基本性质（分式的分子与分母同时除以同一个不为0的整式，分式的值不变），结合同底数幂的除法、因式分解等知识，对每个选项逐一分析，判断约分是否正确。
【解析】
选项A：根据同底数幂的除法法则，$\dfrac{a^9}{a^3}=a^{9-3}=a^6≠a^3$，约分错误；
选项B：当$x+1≠0$时，$\dfrac{x+1}{x+1}=1≠0$，约分错误；
选项C：先对分子因式分解，$x^2+2x+1=(x+1)^2$，则$\dfrac{x^2+2x+1}{x+1}=\dfrac{(x+1)^2}{x+1}=x+1$（$x≠-1$），约分正确；
选项D：分子$a^2+b^2$是平方和，无法分解为$(a+b)^2$，$\dfrac{a^2+b^2}{a+b}$不能约分，结果不是$a+b$，约分错误。
【答案】C
【知识点】分式约分、因式分解
【点评】本题属于分式章节的基础题型，主要考查分式约分的规则，需注意约分时分式的分母不能为0，同时要正确运用同底数幂运算和因式分解知识，避免概念混淆。
【难度系数】0.5

7 新考向 新定义题 如果一个分式的分子或分母可以分解因式，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“美好分式”.下列属于“美好分式”的为（）

A.$\dfrac{x^{2}-y^{2}}{(x+y)^{2}}$
B.$\dfrac{x+y}{x^{2}-y^{2}}$
C.$\dfrac{x-2y}{x^{2}-y^{2}}$
D.$\dfrac{x-2}{x^{2}+2}$

7. C

【分析】
首先明确“美好分式”的定义：需同时满足两个条件，①分子或分母可以分解因式；②该分式不可约分。接下来对每个选项的分子、分母进行因式分解，再判断分式是否可约分，逐一验证即可得出答案。
【解析】
解：根据“美好分式”的定义，逐一分析选项：
选项A：分子$x^2 - y^2 = (x+y)(x-y)$，分母为$(x+y)^2$，约分后得$\frac{x-y}{x+y}$，该分式可约分，不符合“美好分式”定义；
选项B：分母$x^2 - y^2 = (x+y)(x-y)$，分子为$x+y$，约分后得$\frac{1}{x-y}$，该分式可约分，不符合“美好分式”定义；
选项C：分母$x^2 - y^2 = (x+y)(x-y)$，分子为$x-2y$，分子与分母无公因式，分式不可约分，且分母可分解因式，符合“美好分式”定义；
选项D：分母$x^2 + 2$无法分解因式，不满足“分子或分母可以分解因式”的条件，不符合“美好分式”定义。
综上，属于“美好分式”的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
分式的约分、因式分解、新定义题型
【点评】
本题为新定义题型，核心是准确理解“美好分式”的两个判定条件，通过因式分解和约分的基本运算逐一验证选项即可，难度适中，需注意运算的准确性。
【难度系数】
0.6