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13. 如图,在矩形ABCD中,M,N分别为BC,CD的中点,则$\frac{MN}{AC}$的值为.
（第13题图）
（第14题图）
（第15题图）
（第13题图）
（第14题图）
（第15题图）
答案
$\boldsymbol{\frac{1}{2}}$
解析
解：
∵ M，N分别为BC，CD的中点，
∴ MN是△BCD的中位线，
∴ $MN=\frac{1}{2}BD$。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ 矩形的对角线相等，即 $AC=BD$，
∴ $MN=\frac{1}{2}AC$，
∴ $\frac{MN}{AC}=\frac{1}{2}$。
最终
∵ M，N分别为BC，CD的中点，
∴ MN是△BCD的中位线，
∴ $MN=\frac{1}{2}BD$。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ 矩形的对角线相等，即 $AC=BD$，
∴ $MN=\frac{1}{2}AC$，
∴ $\frac{MN}{AC}=\frac{1}{2}$。
最终
14.如图，在$△ ABC$中，$D$，$E$分别为$AB$，$AC$的中点，点$F$在线段$DE$上，且$AF⊥ BF$.若$AB=4$，$BC=7$，则$EF$的长为.
答案
$\frac{3}{2}$（或1.5）
解析
解：
∵ D，E分别为AB，AC的中点，
∴ DE是△ABC的中位线，
∴ $DE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×7=3.5$。
∵ $AF⊥ BF$，
∴ $∠ AFB=90°$，即$△ AFB$是直角三角形。
∵ D是AB的中点，$AB=4$，
∴ 在$Rt△ AFB$中，$DF=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×4=2$。
∴ $EF=DE-DF=3.5-2=\frac{3}{2}$。
∵ D，E分别为AB，AC的中点，
∴ DE是△ABC的中位线，
∴ $DE=\frac{1}{2}BC=\frac{1}{2}×7=3.5$。
∵ $AF⊥ BF$，
∴ $∠ AFB=90°$，即$△ AFB$是直角三角形。
∵ D是AB的中点，$AB=4$，
∴ 在$Rt△ AFB$中，$DF=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×4=2$。
∴ $EF=DE-DF=3.5-2=\frac{3}{2}$。
15. 如图,在四边形ABCD中,AD=BC,P,M,N,Q分别是BD,DC,AB,AC的中点.若AD=8,则四边形PMQN的周长为.
答案
$\boldsymbol{16}$
解析
解：
∵ P，M分别是BD，DC的中点，
∴ PM是△BCD的中位线，
∴ PM = $\frac{1}{2}$BC。
同理可得：MQ = $\frac{1}{2}$AD，QN = $\frac{1}{2}$BC，PN = $\frac{1}{2}$AD。
∵ AD = 8，AD = BC，
∴ BC = 8，
∴ PM = $\frac{1}{2} × 8 = 4$，MQ = $\frac{1}{2} × 8 = 4$，QN = $\frac{1}{2} × 8 = 4$，PN = $\frac{1}{2} × 8 = 4$，
∴ 四边形PMQN的周长 = PM + MQ + QN + PN = 4 + 4 + 4 + 4 = 16。
最终
∵ P，M分别是BD，DC的中点，
∴ PM是△BCD的中位线，
∴ PM = $\frac{1}{2}$BC。
同理可得：MQ = $\frac{1}{2}$AD，QN = $\frac{1}{2}$BC，PN = $\frac{1}{2}$AD。
∵ AD = 8，AD = BC，
∴ BC = 8，
∴ PM = $\frac{1}{2} × 8 = 4$，MQ = $\frac{1}{2} × 8 = 4$，QN = $\frac{1}{2} × 8 = 4$，PN = $\frac{1}{2} × 8 = 4$，
∴ 四边形PMQN的周长 = PM + MQ + QN + PN = 4 + 4 + 4 + 4 = 16。
最终
16. 如图，点D，E分别是$△ ABC$边AC，BC的中点，在AC的延长线上取一点F，使$EF=BC$，且$∠ DEF=∠ ACB$.若$DF=6$，则$DE=$.
（第16题图）
（第17题图）
（第18题图）
（第16题图）
（第17题图）
（第18题图）
答案
$\boldsymbol{3}$
解析
解：
∵ 点D，E分别是△ABC边AC，BC的中点，
∴ DE是△ABC的中位线，
∴ $DE // AB$，$DE = \frac{1}{2}AB$，
∴ $∠ A = ∠ CDE$。
在△DEF和△CAB中，
$\{\begin{array}{l}∠ CDE = ∠ A \\∠ DEF = ∠ ACB \\EF = BC\end{array} $
∴ $△ DEF ≌ △ CAB$（AAS），
∴ $DF = AB$。
∵ $DF = 6$，
∴ $AB = 6$，
∴ $DE = \frac{1}{2}AB = 3$。
∵ 点D，E分别是△ABC边AC，BC的中点，
∴ DE是△ABC的中位线，
∴ $DE // AB$，$DE = \frac{1}{2}AB$，
∴ $∠ A = ∠ CDE$。
在△DEF和△CAB中，
$\{\begin{array}{l}∠ CDE = ∠ A \\∠ DEF = ∠ ACB \\EF = BC\end{array} $
∴ $△ DEF ≌ △ CAB$（AAS），
∴ $DF = AB$。
∵ $DF = 6$，
∴ $AB = 6$，
∴ $DE = \frac{1}{2}AB = 3$。
17.如图，D，E分别是$△ ABC$边AB，AC的中点，连接BE，DE.若$∠ AED=∠ BEC$，$DE=2$，则BE的长为.
答案
$\boldsymbol{4}$
解析
解：
∵ D，E分别是△ABC边AB，AC的中点，
∴ DE是△ABC的中位线，
∴ DE//BC，BC=2DE=2×2=4，
∴ ∠AED=∠C，
又∵ ∠AED=∠BEC，
∴ ∠BEC=∠C，
∴ BE=BC=4。
∵ D，E分别是△ABC边AB，AC的中点，
∴ DE是△ABC的中位线，
∴ DE//BC，BC=2DE=2×2=4，
∴ ∠AED=∠C，
又∵ ∠AED=∠BEC，
∴ ∠BEC=∠C，
∴ BE=BC=4。
18.如图，在$□ ABCD$中，对角线$AC$，$BD$交于点$O$，$AC⊥AB$，点$E$，$F$分别为$BC$，$CD$的中点，连接$AE$，$OF$.若$AE=4$，则$OF$的长为.
答案
$\boldsymbol{4}$
解析
解：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ OA=OC，AD=BC。
∵ AC⊥AB，
∴ ∠BAC=90°。
∵ E是BC的中点，
∴ 在Rt△ABC中，$AE=\frac{1}{2}BC$（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）。
∵ AE=4，
∴ BC=8，
∴ AD=BC=8。
∵ O是AC的中点，F是CD的中点，
∴ OF是△ACD的中位线，
∴ $OF=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}×8=4$。
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ OA=OC，AD=BC。
∵ AC⊥AB，
∴ ∠BAC=90°。
∵ E是BC的中点，
∴ 在Rt△ABC中，$AE=\frac{1}{2}BC$（直角三角形斜边中线等于斜边的一半）。
∵ AE=4，
∴ BC=8，
∴ AD=BC=8。
∵ O是AC的中点，F是CD的中点，
∴ OF是△ACD的中位线，
∴ $OF=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}×8=4$。
19.如图,已知三角形纸片ABC,第1次折叠使点B落在BC边上的点B'处,折痕AD交BC于点D;第2次折叠使点A落在点D处,折痕MN交AB'于点P.若BC=12,则MP+MN=.
答案
$\boldsymbol{6}$
解析
解：
由第一次折叠的性质可得：$AD⊥ BC$，$BD = B'D$。
由第二次折叠的性质可得：$MN$垂直平分$AD$，
∴ $M$是$AD$的中点，$MN⊥ AD$。
又∵ $AD⊥ BC$，
∴ $MN// BC$，
∴ $MP$是$△ ADB'$的中位线，$MN$是$△ ADC$的中位线。
∴ $MP = \frac{1}{2} B'D$，$MN = \frac{1}{2} DC$。
∴ $MP + MN = \frac{1}{2} B'D + \frac{1}{2} DC = \frac{1}{2}(BD + DC) = \frac{1}{2} BC$。
∵ $BC=12$，
∴ $MP + MN = \frac{1}{2} × 12 = 6$。
由第一次折叠的性质可得：$AD⊥ BC$，$BD = B'D$。
由第二次折叠的性质可得：$MN$垂直平分$AD$，
∴ $M$是$AD$的中点，$MN⊥ AD$。
又∵ $AD⊥ BC$，
∴ $MN// BC$，
∴ $MP$是$△ ADB'$的中位线，$MN$是$△ ADC$的中位线。
∴ $MP = \frac{1}{2} B'D$，$MN = \frac{1}{2} DC$。
∴ $MP + MN = \frac{1}{2} B'D + \frac{1}{2} DC = \frac{1}{2}(BD + DC) = \frac{1}{2} BC$。
∵ $BC=12$，
∴ $MP + MN = \frac{1}{2} × 12 = 6$。
