【例1】下列各式能用平方差公式计算的是()

A.$(a+b)(a-b)$
B.$(a+b)(a-2b)$
C.$(a+b)(a+b)$
D.$(a-b)(b-a)$

A

【分析】
解题前首先要明确平方差公式的核心结构特征：平方差公式适用于两个二项式相乘的运算，形式为$\boxed{(x+y)(x-y)=x^2-y^2}$，判断的关键是两个因式中要有一项完全相同，另一项互为相反数。解题时只需将每个选项对照这个特征逐一验证，就能选出正确答案。
【解析】
我们依据平方差公式的适用条件逐一分析选项：
1. 分析A选项：$(a+b)(a-b)$中，相同的项是$a$，互为相反数的项是$b$和$-b$，完全符合平方差公式的结构特征，可以用平方差公式计算。
2. 分析B选项：$(a+b)(a-2b)$中，含$b$的项是$b$和$-2b$，不是互为相反数，不符合平方差公式的要求，不能用平方差公式计算。
3. 分析C选项：$(a+b)(a+b)$两个因式完全相同，属于完全平方公式的适用形式，不符合平方差公式特征，不能用平方差公式计算。
4. 分析D选项：$(a-b)(b-a)$可变形为$(a-b)[-(a-b)]=-(a-b)^2$，属于完全平方公式的适用形式，没有“一项相同、一项相反”的结构，不能用平方差公式计算。
综上，只有A选项符合要求。
【答案】
A
【知识点】
平方差公式的识别，整式乘法
【点评】
本题属于基础概念考查题，只要牢记平方差公式“一项相同、一项互为相反数”的核心特征，就能快速做出判断，熟练掌握公式结构是解决整式乘法相关题型的基础。
【难度系数】
0.8

练习.计算$(x+y)(x-y)$的结果是（）

A.$-x^2 + y^2$
B.$-x^2 - y^2$
C.$x^2 - y^{22}$
D.$x^2 + y^2$

C

【分析】
本题考查平方差公式的应用，解题思路如下：首先回忆平方差公式的结构：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差，即$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$。接下来确定式子中对应公式里的a和b：这里两个因式里相同的项是$x$，对应公式里的$a$，互为相反数的项是$y$和$-y$，对应公式里的$b$，最后代入公式计算，再匹配选项即可得到答案。
【解析】
根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，将$(x+y)(x-y)$中的$x$看作$a$，$y$看作$b$，代入公式计算：
$(x+y)(x-y)=x^2 - y^2$
（注：题干C选项中$y^{22}$为输入笔误，应为$y^2$），对应选项可知C为正确答案。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式，整式乘法
【点评】
本题属于基础应用类题目，主要考查对平方差公式结构的识别和简单套用能力，熟练掌握公式的形式特征就能快速得出结果。
【难度系数】
0.9

知识点② 运用平方差公式计算
【例2】计算：
(1)$(3x - y)(3x + y)=$；
(2)$(x + 1)(x - 1)=$；
(3)$(-x - y)(-x + y)=$；
(4)$(2m + 3)(2m - 3)=$。

(1)$9x^2 - y^2$ (2)$x^2 - 1$ (3)$x^2 - y^2$ (4)$4m^2 - 9$

【分析】
本题考查平方差公式的直接应用，解题思路为：首先回忆平方差公式的结构特征：两个二项式相乘，其中一项完全相同，另一项互为相反数，结果等于相同项的平方减去互为相反数项的平方，公式为$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$。解题时只需先找出每个小题中的相同项$a$和相反项$b$，再代入公式计算即可，计算时注意系数也要乘方，符号处理要正确。
【解析】
使用平方差公式$\boldsymbol{(a+b)(a-b)=a^2 - b^2}$（其中$a$是两个括号里的相同项，$b$是互为相反数的项）逐个计算：
(1) 式子$(3x - y)(3x + y)$中，相同项$a=3x$，相反项$b=y$，代入得：
原式$=(3x)^2 - y^2=9x^2 - y^2$
(2) 式子$(x + 1)(x - 1)$中，相同项$a=x$，相反项$b=1$，代入得：
原式$=x^2 - 1^2=x^2 - 1$
(3) 式子$(-x - y)(-x + y)$中，相同项$a=-x$，相反项$b=y$，代入得：
原式$=(-x)^2 - y^2=x^2 - y^2$
(4) 式子$(2m + 3)(2m - 3)$中，相同项$a=2m$，相反项$b=3$，代入得：
原式$=(2m)^2 - 3^2=4m^2 - 9$
【答案】
(1)$9x^2 - y^2$ (2)$x^2 - 1$ (3)$x^2 - y^2$ (4)$4m^2 - 9$
【知识点】
平方差公式，整式乘法运算
【点评】
本题是平方差公式的基础应用题型，解题核心是准确识别两个因式中的相同项和相反项，计算时需注意含系数的项平方时系数也要同时平方，避免出现漏乘方的低级错误。
【难度系数】
0.85

练习1.利用平方差公式计算$(2x-5)(-2x-5)$的结果是()

A.$4x^2-5$
B.$4x^2-25$
C.$25-4x^2$
D.$4x^2+25$

C

【分析】
要使用平方差公式计算，首先需明确平方差公式的结构特征：两个二项式相乘，其中有一项完全相同，另一项互为相反数，结果等于相同项的平方减去相反项的平方。解题时先从给出的两个因式中找出相同项和相反项：观察$(2x-5)$和$(-2x-5)$，相同项是$-5$，互为相反数的项是$2x$和$-2x$，将式子整理为平方差公式的标准形式后代入计算即可，计算时注意乘方的符号规则。
【解析】
首先将原式变形为平方差公式的标准形式：
$(2x-5)(-2x-5)=(-5+2x)(-5-2x)$
根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，此处$a=-5$，$b=2x$，代入得：
$\begin{aligned}原式&=(-5)^2-(2x)^2\\&=25-4x^2\end{aligned}$
也可通过提取负号的方法计算：先将第二个因式提取负号得$(2x-5)×[-(2x+5)]=-(2x-5)(2x+5)$，再套用平方差公式计算后去括号，结果一致。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式；整式乘法运算
【点评】
本题是平方差公式的基础应用类题目，解题的核心是准确区分两个因式中的相同项和相反项，避免因混淆两项位置、符号计算错误丢分，熟练掌握平方差公式的结构特征是解题的关键。
【难度系数】
0.7

练习 2.(教材 P112 例1改编)运用平方差公式计算：
(1)$(3a + b)(3a - b)$；
(2)$(-x + 2y)(-x - 2y)$；
(3)$(-\dfrac{1}{2}a - b)(\dfrac{1}{2}a - b)$；
(4)$(3x - 2y)(3x + 2y)$；
(5)$(x - 3)(x + 3) - x(x - 8)$；
(6)$(x - 4)(x + 6) - (x - 3)(-3 - x)$。

(1)原式=$9a^2 - b^2$；
(2)原式=$(-x)^2 - (2y)^2 = x^2 - 4y^2$；
(3)原式=$b^2 - \dfrac{1}{4}a^2$；
(4)原式=$9x^2 - 4y^2$；
(5)原式=$x^2 - 9 - x^2 + 8x = 8x - 9$；
(6)原式=$x^2 + 2x - 24 + (x^2 - 9) = 2x^2 + 2x - 33$。

【分析】
解决这类问题首先要牢记平方差公式：$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，公式的特点是：两个因式中一项完全相同，另一项互为相反数。解题步骤为：①观察每个乘积式，先找出其中的相同项（对应公式中的$a$）和相反项（对应公式中的$b$）；②将对应项代入平方差公式计算乘积部分；③若算式中还有整式加减运算，先按去括号规则处理符号，再合并同类项得到最终结果。
【解析】
(1) 观察得相同项为$3a$，相反项为$b$和$-b$，代入平方差公式：
原式$=(3a)^2 - b^2 = 9a^2 - b^2$
(2) 观察得相同项为$-x$，相反项为$2y$和$-2y$，代入平方差公式：
原式$=(-x)^2 - (2y)^2 = x^2 - 4y^2$
(3) 整理因式后得相同项为$-b$，相反项为$-\frac{1}{2}a$和$\frac{1}{2}a$，代入平方差公式：
原式$=(-b)^2 - (\frac{1}{2}a)^2 = b^2 - \frac{1}{4}a^2$
(4) 观察得相同项为$3x$，相反项为$-2y$和$2y$，代入平方差公式：
原式$=(3x)^2 - (2y)^2 = 9x^2 - 4y^2$
(5) 先对第一个乘积用平方差公式，第二个乘积按单项式乘多项式法则计算，再去括号合并同类项：
原式$=(x^2 - 9) - (x^2 - 8x) = x^2 - 9 - x^2 + 8x = 8x - 9$
(6) 先计算第一个多项式乘法，第二个乘积整理后用平方差公式，再去括号合并同类项：
原式$=(x^2 + 2x - 24) - (9 - x^2) = x^2 + 2x - 24 - 9 + x^2 = 2x^2 + 2x - 33$
【答案】
(1)$9a^2 - b^2$；
(2)$x^2 - 4y^2$；
(3)$b^2 - \dfrac{1}{4}a^2$；
(4)$9x^2 - 4y^2$；
(5)$8x - 9$；
(6)$2x^2 + 2x - 33$
【知识点】
平方差公式、整式乘法、整式加减
【点评】
本题是平方差公式的基础应用题型，核心是准确识别公式中相同项和相反项，混合运算时需注意运算顺序和去括号的符号变化，熟练掌握公式特征可有效降低运算错误率。
【难度系数】
0.7

【例3】计算：
(1)$99×101$；
(2)$2025×2023 - 2024^2$。

(1)原式=$(100-1)(100+1)=100^2 - 1=9999$；
(2)原式=$(2024+1)(2024-1)-2024^2=2024^2 - 1^2 - 2024^2=-1$。

【分析】
对于这类两个接近相同整数的数相乘的计算题，优先考虑用平方差公式简化运算，避免直接计算大数乘积出错。
(1)观察99和101，两个数都接近100，可分别变形为100-1和100+1，刚好符合平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$的结构，代入公式即可快速计算；
(2)观察2025和2023，两个数都接近2024，可分别变形为2024+1和2024-1，先套用平方差公式计算乘积，再和后面的$2024^2$作差，可抵消相同项快速得到结果。
【解析】
(1) $99×101$
$=(100-1)(100+1)$
$=100^2 - 1^2$
$=10000 - 1$
$=9999$
(2) $2025×2023 - 2024^2$
$=(2024+1)(2024-1) - 2024^2$
$=2024^2 - 1^2 - 2024^2$
$=-1$
【答案】
(1)$9999$；(2)$-1$
【知识点】
平方差公式；有理数简便运算
【点评】
本题是平方差公式用于简便运算的典型题型，解题核心是观察相乘两数的特征，将其转化为两数和乘两数差的结构，套用公式后大幅简化计算过程，降低大数运算的出错概率。
【难度系数】
0.8

练习.计算:
(1)$103×97$；
(2)$1000^2 - 999×1001$.

(1)原式=$(100+3)(100-3)=100^2 - 9=9991$；
(2)原式=$1000^2 - (1000-1)(1000+1)=1000^2 - (1000^2 - 1^2)=1$。

【分析】
这两道题都可以利用平方差公式进行简便运算，避免大数直接相乘导致计算量过大。第(1)题中103可改写为100+3，97可改写为100-3，刚好符合平方差公式$(a+b)(a-b)$的结构，代入公式即可快速计算；第(2)题中$999=1000-1$，$1001=1000+1$，因此$999×1001$可以转化为平方差公式的形式，代入后化简即可得到结果，无需计算高次幂和大数乘积。
【解析】
(1) 原式$=(100+3)(100-3)$
根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，可得：
原式$=100^2 - 3^2=10000 - 9=9991$
(2) 原式$=1000^2 - (1000-1)(1000+1)$
先对$(1000-1)(1000+1)$套用平方差公式：
$(1000-1)(1000+1)=1000^2 - 1^2$
因此原式$=1000^2 - (1000^2 - 1)=1000^2 - 1000^2 + 1=1$
【答案】
(1)$9991$；(2)$1$
【知识点】
平方差公式，整式简便运算
【点评】
本题侧重考查平方差公式的灵活应用，解题的关键是观察数字特征，将算式变形为符合平方差公式的结构，能够有效降低计算量，减少计算失误。
【难度系数】
0.85