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9. 如图,C 为扇形 OAB 的半径 OB 上一点,将$△ OAC$沿 AC 折叠,点 O 恰好落在$\overset{\frown}{AB}$上的点 D 处,且$l_{\overset{\frown}{BD}}:l_{\overset{\frown}{AD}}=1:3$($l_{\overset{\frown}{BD}}$表示$\overset{\frown}{BD}$的长),若将扇形 OAB 围成一个圆锥的侧面,则圆锥的底面圆的半径与母线长的比为（
A.$1:3$
B.$1:π$
C.$1:4$
D.$2:9$
D
）A.$1:3$
B.$1:π$
C.$1:4$
D.$2:9$
答案
9.D
10.(2025·建邺区二模)如图,圆锥的母线 AB 长为 6,底面直径 BC 长为 4,M 为 AB 的中点.将圆锥侧面沿母线剪开并展平,在展开图中 M,C 之间的距离为
$3\sqrt{3}$
.答案
10.$3\sqrt{3}$
11. 如图①中的某种冰激凌的外包装可以视为圆锥(如图②)，制作这种外包装需要用如图③所示的等腰三角形材料，其中$AB=AC,AD⊥ BC$.将扇形$AEF$围成圆锥时，$AE,AF$恰好重合，已知这种加工材料的顶角$∠ BAC=90°$.
(1)求图②中圆锥底面圆直径$ED$与母线$AD$长的比值；
(2)若圆锥底面圆的直径$ED$为$5\ \mathrm{cm}$，求加工材料剩余部分(图③中阴影部分)的面积.(结果保留$π$)
(1)求图②中圆锥底面圆直径$ED$与母线$AD$长的比值；
(2)若圆锥底面圆的直径$ED$为$5\ \mathrm{cm}$，求加工材料剩余部分(图③中阴影部分)的面积.(结果保留$π$)
答案
11.解:(1)根据题意,得 $π· DE=\frac{90· π· AD}{180}$,
$\therefore DE=\frac{1}{2}AD$,$\therefore ED$与$AD$长的比值为$\frac{1}{2}$.
(2)$\because ∠BAC=90°,AB=AC,AD⊥BC$,
$\therefore D$为$BC$的中点,$\therefore BC=2AD$.
而 $AD=2DE=10\ \mathrm{cm}$,$\therefore BC=2AD=20\ \mathrm{cm}$,
$\therefore S_{阴影}=S_{△ ABC}-S_{扇形AEF}=\frac{1}{2}×20×10-\frac{90×π×10^2}{360} = (100-25π)\mathrm{cm}^2$.
答:加工材料剩余部分的面积为$(100-25π)\mathrm{cm}^2$.
$\therefore DE=\frac{1}{2}AD$,$\therefore ED$与$AD$长的比值为$\frac{1}{2}$.
(2)$\because ∠BAC=90°,AB=AC,AD⊥BC$,
$\therefore D$为$BC$的中点,$\therefore BC=2AD$.
而 $AD=2DE=10\ \mathrm{cm}$,$\therefore BC=2AD=20\ \mathrm{cm}$,
$\therefore S_{阴影}=S_{△ ABC}-S_{扇形AEF}=\frac{1}{2}×20×10-\frac{90×π×10^2}{360} = (100-25π)\mathrm{cm}^2$.
答:加工材料剩余部分的面积为$(100-25π)\mathrm{cm}^2$.
12. 如图,有一直径是 1 米的圆形铁皮,要从中剪出一个圆心角是$120°$的扇形$ABC$.
(1)求被剪掉阴影部分的面积；
(2)若用所留的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面,该圆锥底面圆的半径是多少米？
(1)求被剪掉阴影部分的面积；
(2)若用所留的扇形铁皮围成一个圆锥的侧面,该圆锥底面圆的半径是多少米？
答案
12.解:(1)连接$OA,OB,OC$.
$\because OA=OC=OB,AB=AC,\therefore △ ABO≌△ ACO(\mathrm{SSS})$.
又$∠BAC=120°$,$\therefore ∠BAO=∠CAO=60°$,
$\therefore △ ABO$是等边三角形,$\therefore AB=OA=\frac{1}{2}$米,
$\therefore S_{扇形ABC}=\frac{120}{360}π(\frac{1}{2})^2=\frac{π}{12}$(平方米),
$\therefore S_{阴影}=π(\frac{1}{2})^2-\frac{π}{12}=\frac{π}{6}$(平方米),
即被剪掉阴影部分的面积是$\frac{π}{6}$平方米.
(2)在扇形$ABC$中,$\overset{\frown}{BC}$的长为$\frac{120}{180}π×\frac{1}{2}=\frac{π}{3}$(米).
设圆锥底面圆的半径为$r$米,则$2πr=\frac{π}{3}$,解得$r=\frac{1}{6}$,
即该圆锥底面圆的半径是$\frac{1}{6}$米.
$\because OA=OC=OB,AB=AC,\therefore △ ABO≌△ ACO(\mathrm{SSS})$.
又$∠BAC=120°$,$\therefore ∠BAO=∠CAO=60°$,
$\therefore △ ABO$是等边三角形,$\therefore AB=OA=\frac{1}{2}$米,
$\therefore S_{扇形ABC}=\frac{120}{360}π(\frac{1}{2})^2=\frac{π}{12}$(平方米),
$\therefore S_{阴影}=π(\frac{1}{2})^2-\frac{π}{12}=\frac{π}{6}$(平方米),
即被剪掉阴影部分的面积是$\frac{π}{6}$平方米.
(2)在扇形$ABC$中,$\overset{\frown}{BC}$的长为$\frac{120}{180}π×\frac{1}{2}=\frac{π}{3}$(米).
设圆锥底面圆的半径为$r$米,则$2πr=\frac{π}{3}$,解得$r=\frac{1}{6}$,
即该圆锥底面圆的半径是$\frac{1}{6}$米.
