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1. 用移项方法解一元一次方程
典例1 $81x - 144 = 69x$
典例1 $81x - 144 = 69x$
答案
解：
移项，得
$81x - 69x = 144$
合并同类项，得
$12x = 144$
系数化为1，得
$x = 12$
移项，得
$81x - 69x = 144$
合并同类项，得
$12x = 144$
系数化为1，得
$x = 12$
解析
【分析】
这是一道用移项法求解一元一次方程的基础题，解题思路遵循移项解一元一次方程的常规步骤：第一步先通过移项，把所有含未知数x的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边，注意移项要改变符号；第二步合并同类项，将方程化简为$ax=b$（$a≠0$）的形式；第三步将x的系数化为1，即可求出方程的解。
【解析】
解：
移项，得
$81x - 69x = 144$
合并同类项，得
$12x = 144$
系数化为1，得
$x = 12$
【答案】
$x=12$
【知识点】
移项解一元一次方程、合并同类项、系数化为1
【点评】
本题是移项解一元一次方程的常规基础题，核心考查移项时“移项要变号”的规则，掌握解一元一次方程的基本步骤即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
这是一道用移项法求解一元一次方程的基础题，解题思路遵循移项解一元一次方程的常规步骤：第一步先通过移项，把所有含未知数x的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边，注意移项要改变符号；第二步合并同类项，将方程化简为$ax=b$（$a≠0$）的形式；第三步将x的系数化为1，即可求出方程的解。
【解析】
解：
移项，得
$81x - 69x = 144$
合并同类项，得
$12x = 144$
系数化为1，得
$x = 12$
【答案】
$x=12$
【知识点】
移项解一元一次方程、合并同类项、系数化为1
【点评】
本题是移项解一元一次方程的常规基础题，核心考查移项时“移项要变号”的规则，掌握解一元一次方程的基本步骤即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
举一反三 在解方程过程中，对于两个变形，甲：$-x - 2x = -5 + 2$变形成$-3x = -3$。乙：$3x - 2 = 7$变形成$3x = 7 + 2$。下列说法正确的是(
A.甲变形的依据是合并同类项，乙变形的依据是移项
B.两个变形的依据均为移项
C.甲变形的依据是移项，乙变形的依据是合并同类项
D.两个变形的依据均为合并同类项
A
).A.甲变形的依据是合并同类项，乙变形的依据是移项
B.两个变形的依据均为移项
C.甲变形的依据是移项，乙变形的依据是合并同类项
D.两个变形的依据均为合并同类项
答案
A
解析
【分析】
解题时首先要明确合并同类项和移项的定义，再分别对甲、乙两个变形逐一分析：第一步先判断甲的变形，观察式子两边是同类型项的合并还是项的位置移动；第二步判断乙的变形，看是否是将某一项改变符号后从方程一边移到另一边；最后对应选项选出正确答案。
【解析】
1. 分析甲的变形：
$-x - 2x = -5 + 2$变形成$-3x = -3$，是将等号左侧的同类项$-x$和$-2x$合并为$-3x$，等号右侧的同类项$-5$和$+2$合并为$-3$，因此甲变形的依据是合并同类项。
2. 分析乙的变形：
$3x - 2 = 7$变形成$3x = 7 + 2$，是将等号左侧的$-2$改变符号后移到等号的右侧，这个操作是移项，因此乙变形的依据是移项。
综上，A选项的描述正确，B、C、D选项均不符合两个变形的依据。
【答案】
A
【知识点】
合并同类项；移项
【点评】
本题考查解一元一次方程过程中常见变形的区分，需要准确掌握合并同类项和移项的特点：合并同类项不改变项的位置，仅将同类型的项合并为一项；移项需要改变项的符号，且项的位置从方程的一边移到另一边，学习中要注意区分两种变形，避免混淆。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确合并同类项和移项的定义，再分别对甲、乙两个变形逐一分析：第一步先判断甲的变形，观察式子两边是同类型项的合并还是项的位置移动；第二步判断乙的变形，看是否是将某一项改变符号后从方程一边移到另一边；最后对应选项选出正确答案。
【解析】
1. 分析甲的变形：
$-x - 2x = -5 + 2$变形成$-3x = -3$，是将等号左侧的同类项$-x$和$-2x$合并为$-3x$，等号右侧的同类项$-5$和$+2$合并为$-3$，因此甲变形的依据是合并同类项。
2. 分析乙的变形：
$3x - 2 = 7$变形成$3x = 7 + 2$，是将等号左侧的$-2$改变符号后移到等号的右侧，这个操作是移项，因此乙变形的依据是移项。
综上，A选项的描述正确，B、C、D选项均不符合两个变形的依据。
【答案】
A
【知识点】
合并同类项；移项
【点评】
本题考查解一元一次方程过程中常见变形的区分，需要准确掌握合并同类项和移项的特点：合并同类项不改变项的位置，仅将同类型的项合并为一项；移项需要改变项的符号，且项的位置从方程的一边移到另一边，学习中要注意区分两种变形，避免混淆。
【难度系数】
0.8
典例2《孙子算经》中有这样一个问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问：人与车各几何？”这个题的意思是：今有若干人乘车，若每3人乘1辆车，则余2辆空车；若每2人乘1辆车，则余9人需步行，问共有多少辆车，多少人。
典例解析
典例解析
答案
解：设共有x辆车。
根据题意列方程，得
$3(x-2)=2x+9$
去括号，得
$3x-6=2x+9$
移项，得
$3x-2x=9+6$
合并同类项，得
$x=15$
总人数为：$2×15 + 9=39$
答：共有15辆车，39人。
根据题意列方程，得
$3(x-2)=2x+9$
去括号，得
$3x-6=2x+9$
移项，得
$3x-2x=9+6$
合并同类项，得
$x=15$
总人数为：$2×15 + 9=39$
答：共有15辆车，39人。
解析
【分析】
本题是一元一次方程的实际应用题，解题核心是抓住总人数不变这一隐含的等量关系。我们可以先设车辆总数为未知数x，根据两种乘车规则分别表示出总人数：每3人乘1辆、余2辆空车时，实际使用车辆为(x-2)辆，总人数为3(x-2)；每2人乘1辆、余9人步行时，总人数为坐车的2x人加上步行的9人，即2x+9。再根据总人数相等列方程，按照移项解一元一次方程的步骤求出车辆数，最后代入表达式求出总人数即可。
【解析】
解：设共有x辆车。
根据题意列方程，得
$3(x-2)=2x+9$
去括号，得
$3x-6=2x+9$
移项，得
$3x-2x=9+6$
合并同类项，得
$x=15$
总人数为：$2×15 + 9=39$
答：共有15辆车，39人。
【答案】
共有15辆车，39人。
【知识点】
一元一次方程应用；移项解一元一次方程
【点评】
本题是源自古代数学典籍的经典应用题，解题的关键是找到不变的总人数作为等量关系建立方程，能够很好地锻炼学生将实际问题转化为数学方程求解的能力。
【难度系数】
0.8
本题是一元一次方程的实际应用题，解题核心是抓住总人数不变这一隐含的等量关系。我们可以先设车辆总数为未知数x，根据两种乘车规则分别表示出总人数：每3人乘1辆、余2辆空车时，实际使用车辆为(x-2)辆，总人数为3(x-2)；每2人乘1辆、余9人步行时，总人数为坐车的2x人加上步行的9人，即2x+9。再根据总人数相等列方程，按照移项解一元一次方程的步骤求出车辆数，最后代入表达式求出总人数即可。
【解析】
解：设共有x辆车。
根据题意列方程，得
$3(x-2)=2x+9$
去括号，得
$3x-6=2x+9$
移项，得
$3x-2x=9+6$
合并同类项，得
$x=15$
总人数为：$2×15 + 9=39$
答：共有15辆车，39人。
【答案】
共有15辆车，39人。
【知识点】
一元一次方程应用；移项解一元一次方程
【点评】
本题是源自古代数学典籍的经典应用题，解题的关键是找到不变的总人数作为等量关系建立方程，能够很好地锻炼学生将实际问题转化为数学方程求解的能力。
【难度系数】
0.8
典例1
解 移项,得 $81x - 69x = 144$.
合并同类项,得 $12x = 144$.
系数化为1,得 $x = 12$.
典例2
(1)$(x - 2)$ $3(x - 2)$ $x$ $2x$
(1)设有$x$辆车,根据题意,用含有$x$的式子填空:
“若每3人乘1辆车,则余2辆空车”即共有辆车坐满3人,则车上人数可表示为;“若每2人乘1辆车,则余9人需步行”即共有辆车坐满2人,则车上人数可表示为.
(2)列出方程,求出问题的答案并写出解答过程.
解 移项,得 $81x - 69x = 144$.
合并同类项,得 $12x = 144$.
系数化为1,得 $x = 12$.
典例2
(1)$(x - 2)$ $3(x - 2)$ $x$ $2x$
(1)设有$x$辆车,根据题意,用含有$x$的式子填空:
“若每3人乘1辆车,则余2辆空车”即共有辆车坐满3人,则车上人数可表示为;“若每2人乘1辆车,则余9人需步行”即共有辆车坐满2人,则车上人数可表示为.
(2)列出方程,求出问题的答案并写出解答过程.
答案
(1) $\boldsymbol{x-2}$；$\boldsymbol{3(x-2)}$；$\boldsymbol{x}$；$\boldsymbol{2x}$
(2)
解：根据总人数相等，列方程得
$3(x-2) = 2x + 9$
去括号，得
$3x - 6 = 2x + 9$
移项，得
$3x - 2x = 9 + 6$
合并同类项，得
$x = 15$
总人数为$2×15 + 9 = 39$
答：共有15辆车，总人数为39人。
(2)
解：根据总人数相等，列方程得
$3(x-2) = 2x + 9$
去括号，得
$3x - 6 = 2x + 9$
移项，得
$3x - 2x = 9 + 6$
合并同类项，得
$x = 15$
总人数为$2×15 + 9 = 39$
答：共有15辆车，总人数为39人。
解析
【分析】
先解决第(1)问：已知总车辆数为x，“每3人乘1辆车，余2辆空车”说明空车不载人，坐满人的车辆数为总车辆数减去空车数量，再用每车乘坐人数乘坐满的车辆数即可得到车上人数；“每2人乘1辆车，余9人步行”说明所有车辆都坐了2人，坐满的车辆数就是总车辆数x，用每车人数乘总车辆数即可得到车上人数。
再解决第(2)问：两种乘车方式的总人数相等，第一种方式总人数为车上的3(x-2)人，第二种方式总人数为车上的2x人加步行的9人，据此列一元一次方程，再按去括号、移项、合并同类项的步骤解方程求出车辆数，最后代入表达式计算总人数即可。
【解析】
(1) 余2辆空车时，坐满3人的车辆数为总车辆数减空车数，即$x-2$，车上人数为$3(x-2)$；余9人步行时，所有x辆车都坐满2人，坐满的车辆数为$x$，车上人数为$2x$。
(2) 根据总人数相等列方程：
$3(x-2) = 2x + 9$
去括号，得：
$3x - 6 = 2x + 9$
移项，得：
$3x - 2x = 9 + 6$
合并同类项，得：
$x = 15$
总人数为$2×15 + 9 = 39$（人）
【答案】
(1) $\boldsymbol{x-2}$；$\boldsymbol{3(x-2)}$；$\boldsymbol{x}$；$\boldsymbol{2x}$
(2) 共有15辆车，总人数为39人。
【知识点】
列代数式；一元一次方程的应用；解一元一次方程
【点评】
本题属于一元一次方程基础应用题，解题关键是抓住总人数不变这一等量关系列方程，计算步骤简单，读懂题意即可顺利解答。
【难度系数】
0.75
先解决第(1)问：已知总车辆数为x，“每3人乘1辆车，余2辆空车”说明空车不载人，坐满人的车辆数为总车辆数减去空车数量，再用每车乘坐人数乘坐满的车辆数即可得到车上人数；“每2人乘1辆车，余9人步行”说明所有车辆都坐了2人，坐满的车辆数就是总车辆数x，用每车人数乘总车辆数即可得到车上人数。
再解决第(2)问：两种乘车方式的总人数相等，第一种方式总人数为车上的3(x-2)人，第二种方式总人数为车上的2x人加步行的9人，据此列一元一次方程，再按去括号、移项、合并同类项的步骤解方程求出车辆数，最后代入表达式计算总人数即可。
【解析】
(1) 余2辆空车时，坐满3人的车辆数为总车辆数减空车数，即$x-2$，车上人数为$3(x-2)$；余9人步行时，所有x辆车都坐满2人，坐满的车辆数为$x$，车上人数为$2x$。
(2) 根据总人数相等列方程：
$3(x-2) = 2x + 9$
去括号，得：
$3x - 6 = 2x + 9$
移项，得：
$3x - 2x = 9 + 6$
合并同类项，得：
$x = 15$
总人数为$2×15 + 9 = 39$（人）
【答案】
(1) $\boldsymbol{x-2}$；$\boldsymbol{3(x-2)}$；$\boldsymbol{x}$；$\boldsymbol{2x}$
(2) 共有15辆车，总人数为39人。
【知识点】
列代数式；一元一次方程的应用；解一元一次方程
【点评】
本题属于一元一次方程基础应用题，解题关键是抓住总人数不变这一等量关系列方程，计算步骤简单，读懂题意即可顺利解答。
【难度系数】
0.75
举一反三 有一所寄宿制学校，开学安排宿舍时，如果每间宿舍安排4人，将会空出5间宿舍；如果每间宿舍安排3人，就有100人没床位，那么在学校住宿的学生有多少人？若设在学校住宿的学生有x人，那么根据题意，可列出方程为(
A. $\frac{x}{4} +5=\frac{x-100}{3}$
B. $\frac{x+5}{4}=\frac{x-100}{3}$
C. $4x -5=3x +100$
D. $\frac{x}{4} -5=\frac{x+100}{3}$
(2)解 根据乘车总人数不变，列得方程
$3(x-2)=2x+9$，
解得$x=15$，
所以$2x+9=2×15+9=39$.
答:共有15辆车，39人.
A
).A. $\frac{x}{4} +5=\frac{x-100}{3}$
B. $\frac{x+5}{4}=\frac{x-100}{3}$
C. $4x -5=3x +100$
D. $\frac{x}{4} -5=\frac{x+100}{3}$
(2)解 根据乘车总人数不变，列得方程
$3(x-2)=2x+9$，
解得$x=15$，
所以$2x+9=2×15+9=39$.
答:共有15辆车，39人.
答案
A
解析
【分析】
要列出正确的方程，首先需要找到题目中的不变量作为等量关系，本题中宿舍的总间数是固定不变的。我们设学生总人数为x人，分别用含x的式子表示出两种住宿安排下的宿舍总间数，令两个式子相等即可得到方程。具体步骤为：①先表示第一种安排的总宿舍数：每间住4人时，住满的宿舍数为总人数除以4，再加上空出的5间，就是总宿舍数；②再表示第二种安排的总宿舍数：每间住3人时有100人没床位，说明住满所有宿舍的人数是(x-100)人，除以每间住的3人，就得到总宿舍数；③联立两个表示总宿舍数的式子得到方程。
【解析】
本题的等量关系为：两种住宿安排下的宿舍总间数相等。
1. 第一种安排：每间宿舍住4人，住满的宿舍数量为$\frac{x}{4}$间，加上空出的5间，总宿舍数为$(\frac{x}{4} +5)$间。
2. 第二种安排：每间宿舍住3人时，有100人没床位，即住满所有宿舍的人数为$(x-100)$人，总宿舍数为$\frac{x-100}{3}$间。
3. 因为总宿舍数相等，所以可列方程：$\frac{x}{4} +5=\frac{x-100}{3}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
列一元一次方程；盈亏问题；找等量关系
【点评】
本题属于列方程解应用题的基础题型，解题核心是抓住题目中隐藏的不变量，只要能够正确将两种分配方案对应的总宿舍数用含未知数的式子表示出来，就能快速列出方程求解。
【难度系数】
0.7
要列出正确的方程，首先需要找到题目中的不变量作为等量关系，本题中宿舍的总间数是固定不变的。我们设学生总人数为x人，分别用含x的式子表示出两种住宿安排下的宿舍总间数，令两个式子相等即可得到方程。具体步骤为：①先表示第一种安排的总宿舍数：每间住4人时，住满的宿舍数为总人数除以4，再加上空出的5间，就是总宿舍数；②再表示第二种安排的总宿舍数：每间住3人时有100人没床位，说明住满所有宿舍的人数是(x-100)人，除以每间住的3人，就得到总宿舍数；③联立两个表示总宿舍数的式子得到方程。
【解析】
本题的等量关系为：两种住宿安排下的宿舍总间数相等。
1. 第一种安排：每间宿舍住4人，住满的宿舍数量为$\frac{x}{4}$间，加上空出的5间，总宿舍数为$(\frac{x}{4} +5)$间。
2. 第二种安排：每间宿舍住3人时，有100人没床位，即住满所有宿舍的人数为$(x-100)$人，总宿舍数为$\frac{x-100}{3}$间。
3. 因为总宿舍数相等，所以可列方程：$\frac{x}{4} +5=\frac{x-100}{3}$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
列一元一次方程；盈亏问题；找等量关系
【点评】
本题属于列方程解应用题的基础题型，解题核心是抓住题目中隐藏的不变量，只要能够正确将两种分配方案对应的总宿舍数用含未知数的式子表示出来，就能快速列出方程求解。
【难度系数】
0.7
