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1.解下列方程：
(1)$2(x+2.5)+6x=45$；
(2)$4x+2(2x-1)=14-2(x+3)$。
(1)$2(x+2.5)+6x=45$；
(2)$4x+2(2x-1)=14-2(x+3)$。
答案
(1) x=5.
(2) x=1.
(2) x=1.
解析
【分析】
这两道题都是带括号的一元一次方程，解题遵循一元一次方程的常规求解步骤：①去括号：括号外的系数要乘以括号内的每一项，若括号前是负号，去括号后括号内各项要变号；②移项：把含未知数的项移到等号左侧，常数项移到等号右侧，移项要变号；③合并同类项：将同类项进行合并；④系数化为1：两边同时除以未知数的系数得到方程的解。
【解析】
(1) 解方程$2(x+2.5)+6x=45$
第一步：去括号，得$2x + 5 + 6x = 45$
第二步：合并同类项，得$8x + 5 = 45$
第三步：移项，得$8x = 45 - 5$，计算得$8x = 40$
第四步：系数化为1，两边同时除以8，得$x = 5$
(2) 解方程$4x+2(2x-1)=14-2(x+3)$
第一步：去括号，得$4x + 4x - 2 = 14 - 2x - 6$
第二步：合并同类项，左右两边分别合并得$8x - 2 = 8 - 2x$
第三步：移项，得$8x + 2x = 8 + 2$，计算得$10x = 10$
第四步：系数化为1，两边同时除以10，得$x = 1$
【答案】
(1) $x=5$；(2) $x=1$
【知识点】
一元一次方程解法、去括号法则、移项规则
【点评】
本题是一元一次方程求解的基础题型，解题的易错点在于去括号时容易漏乘括号内的项，以及移项时忘记改变符号，熟练掌握求解步骤，注意计算细节即可准确答题。
【难度系数】
0.8
这两道题都是带括号的一元一次方程，解题遵循一元一次方程的常规求解步骤：①去括号：括号外的系数要乘以括号内的每一项，若括号前是负号，去括号后括号内各项要变号；②移项：把含未知数的项移到等号左侧，常数项移到等号右侧，移项要变号；③合并同类项：将同类项进行合并；④系数化为1：两边同时除以未知数的系数得到方程的解。
【解析】
(1) 解方程$2(x+2.5)+6x=45$
第一步：去括号，得$2x + 5 + 6x = 45$
第二步：合并同类项，得$8x + 5 = 45$
第三步：移项，得$8x = 45 - 5$，计算得$8x = 40$
第四步：系数化为1，两边同时除以8，得$x = 5$
(2) 解方程$4x+2(2x-1)=14-2(x+3)$
第一步：去括号，得$4x + 4x - 2 = 14 - 2x - 6$
第二步：合并同类项，左右两边分别合并得$8x - 2 = 8 - 2x$
第三步：移项，得$8x + 2x = 8 + 2$，计算得$10x = 10$
第四步：系数化为1，两边同时除以10，得$x = 1$
【答案】
(1) $x=5$；(2) $x=1$
【知识点】
一元一次方程解法、去括号法则、移项规则
【点评】
本题是一元一次方程求解的基础题型，解题的易错点在于去括号时容易漏乘括号内的项，以及移项时忘记改变符号，熟练掌握求解步骤，注意计算细节即可准确答题。
【难度系数】
0.8
【例2】一轮船在A,B两地之间航行,从A地到B地顺水航行,用3 h,从B地到A地逆水航行,比从A地到B地多用0.5 h.已知轮船在静水中的速度是26 km/h,求水流的速度.
解:
解:
答案
水流的速度是2 km/h.
解析
【分析】
解这道题首先要抓住不变量：A、B两地之间的距离是固定的，即顺水航行的路程和逆水航行的路程相等。首先明确流水行船的速度关系：顺水速度=静水速度+水流速度，逆水速度=静水速度-水流速度。我们可以设水流速度为未知数，根据“路程=速度×时间”分别表示出顺水和逆水行驶的路程，再根据路程相等列一元一次方程求解即可。
【解析】
解：设水流的速度为$ x $ km/h。
1. 表示速度和时间：
顺水航行速度为$ (26+x) $ km/h，用时3h；
逆水航行速度为$ (26-x) $ km/h，用时$ 3+0.5=3.5 $ h。
2. 根据路程相等列方程：
$ 3(26+x) = 3.5(26-x) $
3. 解方程：
展开得：$ 78 + 3x = 91 - 3.5x $
移项得：$ 3x + 3.5x = 91 - 78 $
合并同类项得：$ 6.5x = 13 $
系数化为1得：$ x = 2 $
4. 检验：将$ x=2 $代入原方程，左边$ 3×(26+2)=84 $，右边$ 3.5×(26-2)=84 $，左右两边相等，解正确。
【答案】
水流的速度是2 km/h。
【知识点】
一元一次方程的应用；流水行船问题；行程问题公式
【点评】
本题是流水行船类的经典行程应用题，解题核心是抓住往返路程不变这一等量关系构建方程，需要熟练掌握顺水、逆水速度的计算方法，解方程时注意移项要变号，避免出现计算失误。
【难度系数】
0.8
解这道题首先要抓住不变量：A、B两地之间的距离是固定的，即顺水航行的路程和逆水航行的路程相等。首先明确流水行船的速度关系：顺水速度=静水速度+水流速度，逆水速度=静水速度-水流速度。我们可以设水流速度为未知数，根据“路程=速度×时间”分别表示出顺水和逆水行驶的路程，再根据路程相等列一元一次方程求解即可。
【解析】
解：设水流的速度为$ x $ km/h。
1. 表示速度和时间：
顺水航行速度为$ (26+x) $ km/h，用时3h；
逆水航行速度为$ (26-x) $ km/h，用时$ 3+0.5=3.5 $ h。
2. 根据路程相等列方程：
$ 3(26+x) = 3.5(26-x) $
3. 解方程：
展开得：$ 78 + 3x = 91 - 3.5x $
移项得：$ 3x + 3.5x = 91 - 78 $
合并同类项得：$ 6.5x = 13 $
系数化为1得：$ x = 2 $
4. 检验：将$ x=2 $代入原方程，左边$ 3×(26+2)=84 $，右边$ 3.5×(26-2)=84 $，左右两边相等，解正确。
【答案】
水流的速度是2 km/h。
【知识点】
一元一次方程的应用；流水行船问题；行程问题公式
【点评】
本题是流水行船类的经典行程应用题，解题核心是抓住往返路程不变这一等量关系构建方程，需要熟练掌握顺水、逆水速度的计算方法，解方程时注意移项要变号，避免出现计算失误。
【难度系数】
0.8
(改变条件和结论)如果轮船在静水中的速度未知,但已知水流的速度是2 km/h,其他条件不变,求A,B两地之间的距离.
答案
解:A,B两地之间的距离是 84 km.
解析
【分析】
本题是一元一次方程在流水行船问题中的实际应用，解题思路如下：1、先明确流水行船的速度公式：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度；2、找等量关系：轮船顺流从A到B的路程与逆流从B到A的路程相等，均等于A、B两地的距离，题目中“其他条件不变”即顺流、逆流的航行时间和母题一致（顺流用时3h，逆流用时3.5h）；3、我们可以先设轮船在静水中的速度为未知数，根据路程相等列方程求出静水速度，再代入路程公式计算即可得到A、B两地的距离。
【解析】
设轮船在静水中的速度为$ x $ km/h，那么顺流速度为$ (x+2) $ km/h，逆流速度为$ (x-2) $ km/h。
根据顺流、逆流行驶路程相等，可列方程：
$ 3(x+2) = 3.5(x-2) $
去括号得：$ 3x + 6 = 3.5x - 7 $
移项得：$ 3.5x - 3x = 6 + 7 $
合并同类项得：$ 0.5x = 13 $
系数化为1得：$ x = 26 $
则A、B两地的距离为$ 3×(26+2) = 3×28 = 84 $（km）
【答案】
84 km
【知识点】
一元一次方程的应用，流水行船问题
【点评】
本题是行程问题的常见变式，解题的核心是抓住往返路程相等的等量关系，熟练掌握流水行船的速度公式就能顺利求解，也可以直接设距离为未知数列方程，两种方法都能得到结果。
【难度系数】
0.7
本题是一元一次方程在流水行船问题中的实际应用，解题思路如下：1、先明确流水行船的速度公式：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度；2、找等量关系：轮船顺流从A到B的路程与逆流从B到A的路程相等，均等于A、B两地的距离，题目中“其他条件不变”即顺流、逆流的航行时间和母题一致（顺流用时3h，逆流用时3.5h）；3、我们可以先设轮船在静水中的速度为未知数，根据路程相等列方程求出静水速度，再代入路程公式计算即可得到A、B两地的距离。
【解析】
设轮船在静水中的速度为$ x $ km/h，那么顺流速度为$ (x+2) $ km/h，逆流速度为$ (x-2) $ km/h。
根据顺流、逆流行驶路程相等，可列方程：
$ 3(x+2) = 3.5(x-2) $
去括号得：$ 3x + 6 = 3.5x - 7 $
移项得：$ 3.5x - 3x = 6 + 7 $
合并同类项得：$ 0.5x = 13 $
系数化为1得：$ x = 26 $
则A、B两地的距离为$ 3×(26+2) = 3×28 = 84 $（km）
【答案】
84 km
【知识点】
一元一次方程的应用，流水行船问题
【点评】
本题是行程问题的常见变式，解题的核心是抓住往返路程相等的等量关系，熟练掌握流水行船的速度公式就能顺利求解，也可以直接设距离为未知数列方程，两种方法都能得到结果。
【难度系数】
0.7
2.一架飞机在A，B两城市间飞行，顺风需要5.5 h，逆风需要6 h，风速为24 km/h，则A，B两城市间的距离是多少？
答案
2. 解:A,B两城市间的距离是3 168 km.
解析
【分析】
这是行程类中的顺风飞行问题，解题核心是抓住不变量建立等量关系。首先我们需要明确：①顺风飞行时，飞机实际速度=飞机无风时的航速+风速；②逆风飞行时，飞机实际速度=飞机无风时的航速-风速。本题中飞机无风时的航速、A、B两城的距离都是固定不变的，我们可以直接设两城距离为未知数，用“两种情况下飞机无风航速相等”作为等量关系列一元一次方程求解。
【解析】
解：设A、B两城市间的距离为$ x $ km。
根据“顺风速度减风速等于无风速度，逆风速度加风速等于无风速度”，可列方程：
$\frac{x}{5.5} - 24 = \frac{x}{6} + 24$
整理方程：
$\frac{x}{5.5} - \frac{x}{6} = 24 + 24$
将$\frac{x}{5.5}$化简为$\frac{2x}{11}$，通分计算左边：
$\frac{12x}{66} - \frac{11x}{66} = 48$
$\frac{x}{66} = 48$
解得：$x = 48 × 66 = 3168$
【答案】
A，B两城市间的距离是3168 km。
【知识点】
一元一次方程应用、行程问题、顺风逆风速度关系
【点评】
本题是行程问题的典型考法，解题关键是找准顺风、逆风场景下的不变量，建立正确的等量关系，熟练掌握速度、路程、时间三者的关系以及顺风逆风的速度换算即可快速解题。
【难度系数】
0.7
这是行程类中的顺风飞行问题，解题核心是抓住不变量建立等量关系。首先我们需要明确：①顺风飞行时，飞机实际速度=飞机无风时的航速+风速；②逆风飞行时，飞机实际速度=飞机无风时的航速-风速。本题中飞机无风时的航速、A、B两城的距离都是固定不变的，我们可以直接设两城距离为未知数，用“两种情况下飞机无风航速相等”作为等量关系列一元一次方程求解。
【解析】
解：设A、B两城市间的距离为$ x $ km。
根据“顺风速度减风速等于无风速度，逆风速度加风速等于无风速度”，可列方程：
$\frac{x}{5.5} - 24 = \frac{x}{6} + 24$
整理方程：
$\frac{x}{5.5} - \frac{x}{6} = 24 + 24$
将$\frac{x}{5.5}$化简为$\frac{2x}{11}$，通分计算左边：
$\frac{12x}{66} - \frac{11x}{66} = 48$
$\frac{x}{66} = 48$
解得：$x = 48 × 66 = 3168$
【答案】
A，B两城市间的距离是3168 km。
【知识点】
一元一次方程应用、行程问题、顺风逆风速度关系
【点评】
本题是行程问题的典型考法，解题关键是找准顺风、逆风场景下的不变量，建立正确的等量关系，熟练掌握速度、路程、时间三者的关系以及顺风逆风的速度换算即可快速解题。
【难度系数】
0.7
3.小红买了4本大笔记本和6本小笔记本，共用了62元.已知大笔记本的单价比小笔记本的单价多3元，求大笔记本的单价.
答案
3. 解:大笔记本的单价是8元.
解析
【分析】
这是典型的一元一次方程应用题，解题时先梳理题中的两组等量关系：①4本大笔记本的总费用+6本小笔记本的总费用=62元；②大笔记本单价比小笔记本单价多3元。我们可以直接设所求的大笔记本单价为未知数，用含未知数的式子表示小笔记本的单价，再根据总费用的等量关系列方程求解即可。
【解析】
解：设大笔记本的单价为$x$元，则小笔记本的单价为$(x-3)$元。
根据总费用为62元可列方程：
$4x + 6(x-3) = 62$
去括号得：$4x + 6x - 18 = 62$
移项、合并同类项得：$10x = 80$
系数化为1得：$x = 8$
检验：当$x=8$时，小笔记本单价为$8-3=5$元，总费用为$4×8 + 6×5 = 62$元，符合题意。
【答案】
大笔记本的单价是8元。
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 总价=单价×数量
【点评】
本题属于基础应用题，核心考查从题干中提取等量关系的能力，只要准确找到总费用的等量关系，合理设未知数列方程即可快速求解。
【难度系数】
0.8
这是典型的一元一次方程应用题，解题时先梳理题中的两组等量关系：①4本大笔记本的总费用+6本小笔记本的总费用=62元；②大笔记本单价比小笔记本单价多3元。我们可以直接设所求的大笔记本单价为未知数，用含未知数的式子表示小笔记本的单价，再根据总费用的等量关系列方程求解即可。
【解析】
解：设大笔记本的单价为$x$元，则小笔记本的单价为$(x-3)$元。
根据总费用为62元可列方程：
$4x + 6(x-3) = 62$
去括号得：$4x + 6x - 18 = 62$
移项、合并同类项得：$10x = 80$
系数化为1得：$x = 8$
检验：当$x=8$时，小笔记本单价为$8-3=5$元，总费用为$4×8 + 6×5 = 62$元，符合题意。
【答案】
大笔记本的单价是8元。
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 总价=单价×数量
【点评】
本题属于基础应用题，核心考查从题干中提取等量关系的能力，只要准确找到总费用的等量关系，合理设未知数列方程即可快速求解。
【难度系数】
0.8
