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7. 学生小丽和她的父母一家三口准备参加旅游团到外地旅游。甲、乙两个旅行社原价相同，均为每人p元，但各有优惠措施，如右表所示。小丽选择参加了较便宜的一家旅行社组织的旅游团。你知道小丽选的是哪一家吗？共付了多少旅游费(用含p的代数式表示)？
答案
甲旅行社需付费:$2p+0.5p=2.5p$;乙旅行社需付费:$0.8×3p=2.4p$。乙旅行社较便宜,所以小丽选了乙旅行社,共付旅游费$2.4p$元。
解析
【分析】
要确定小丽选择的旅行社，首先需要分别计算两家旅行社的总费用，再比较费用大小，选择花费更低的即可。首先明确小丽家有2名成人、1名学生，两家旅行社单人原价均为p元，只需对应两家的优惠规则分别计算总费用，再比较大小就能得出结论。
【解析】
1. 计算甲旅行社总费用：
甲旅行社成人全价、学生半价，2名成人的费用为$2p$元，1名学生的费用为$0.5p$元，总费用为：
$2p + 0.5p = 2.5p$（元）
2. 计算乙旅行社总费用：
乙旅行社所有人员均按全价八折收费，一家三口的原价总和为$3p$元，打八折后的总费用为：
$0.8× 3p = 2.4p$（元）
3. 比较费用大小：因为旅游原价$p＞0$，所以$2.4p ＜ 2.5p$，可知乙旅行社费用更低。
【答案】
小丽选的是乙旅行社，共付旅游费$2.4p$元。
【知识点】
列代数式；整式加减运算；方案选择
【点评】
本题结合生活中旅游优惠的实际场景，考查代数式的应用能力，解题核心是准确理解不同优惠规则，正确列出对应代数式并比较大小，属于贴近生活的基础应用题。
【难度系数】
0.8
要确定小丽选择的旅行社，首先需要分别计算两家旅行社的总费用，再比较费用大小，选择花费更低的即可。首先明确小丽家有2名成人、1名学生，两家旅行社单人原价均为p元，只需对应两家的优惠规则分别计算总费用，再比较大小就能得出结论。
【解析】
1. 计算甲旅行社总费用：
甲旅行社成人全价、学生半价，2名成人的费用为$2p$元，1名学生的费用为$0.5p$元，总费用为：
$2p + 0.5p = 2.5p$（元）
2. 计算乙旅行社总费用：
乙旅行社所有人员均按全价八折收费，一家三口的原价总和为$3p$元，打八折后的总费用为：
$0.8× 3p = 2.4p$（元）
3. 比较费用大小：因为旅游原价$p＞0$，所以$2.4p ＜ 2.5p$，可知乙旅行社费用更低。
【答案】
小丽选的是乙旅行社，共付旅游费$2.4p$元。
【知识点】
列代数式；整式加减运算；方案选择
【点评】
本题结合生活中旅游优惠的实际场景，考查代数式的应用能力，解题核心是准确理解不同优惠规则，正确列出对应代数式并比较大小，属于贴近生活的基础应用题。
【难度系数】
0.8
8. 若代数式$(2x^2 + ax - y + 6) - (2bx^2 - 3x + 5y - 1)$的值与字母$x$的取值无关，求代数式$3(a^2 - 2ab - b^2) - (4a^2 + ab + b^2)$的值。
答案
原代数式化简后,为$(2-2b)x^2+(a+3)x-6y+7$,因它与$x$无关,则$2-2b=0$,$a+3=0$,得$a=-3,b=1$。所以所求代数式的值为8。
解析
【分析】
解题可分三步思考：第一步，先化简题目给出的第一个含x的代数式，合并关于x的同类项；第二步，代数式的值与x取值无关，意味着代数式里所有含x的项的系数都为0（只有系数为0时，无论x取何值，含x的项结果都是0，不会影响整个代数式的最终值），据此列方程就能求出a、b的值；第三步，先化简需要求值的代数式，再把a、b的值代入计算就能得到结果。
【解析】
1. 化简第一个代数式：
$\begin{aligned}&(2x^2 + ax - y + 6) - (2bx^2 - 3x + 5y - 1)\\=&2x^2 + ax - y + 6 - 2bx^2 + 3x - 5y + 1\\=&(2-2b)x^2 + (a+3)x -6y +7\end{aligned}$
因为该代数式的值与x的取值无关，所以含x的项的系数为0，即：
$2-2b=0$，解得$b=1$
$a+3=0$，解得$a=-3$
2. 化简所求代数式：
$\begin{aligned}&3(a^2 - 2ab - b^2) - (4a^2 + ab + b^2)\\=&3a^2 -6ab -3b^2 -4a^2 -ab -b^2\\=&-a^2 -7ab -4b^2\end{aligned}$
3. 将$a=-3$，$b=1$代入化简后的式子计算：
$\begin{aligned}&-(-3)^2 -7×(-3)×1 -4×1^2\\=&-9 +21 -4\\=&8\end{aligned}$
【答案】
8
【知识点】
整式的加减，代数式求值，合并同类项
【点评】
本题的解题关键是理解“代数式的值与某字母取值无关”的含义，即该字母对应所有项的系数均为0，计算过程中要注意去括号时的符号变化，合并同类项时要准确识别同类项，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.6
解题可分三步思考：第一步，先化简题目给出的第一个含x的代数式，合并关于x的同类项；第二步，代数式的值与x取值无关，意味着代数式里所有含x的项的系数都为0（只有系数为0时，无论x取何值，含x的项结果都是0，不会影响整个代数式的最终值），据此列方程就能求出a、b的值；第三步，先化简需要求值的代数式，再把a、b的值代入计算就能得到结果。
【解析】
1. 化简第一个代数式：
$\begin{aligned}&(2x^2 + ax - y + 6) - (2bx^2 - 3x + 5y - 1)\\=&2x^2 + ax - y + 6 - 2bx^2 + 3x - 5y + 1\\=&(2-2b)x^2 + (a+3)x -6y +7\end{aligned}$
因为该代数式的值与x的取值无关，所以含x的项的系数为0，即：
$2-2b=0$，解得$b=1$
$a+3=0$，解得$a=-3$
2. 化简所求代数式：
$\begin{aligned}&3(a^2 - 2ab - b^2) - (4a^2 + ab + b^2)\\=&3a^2 -6ab -3b^2 -4a^2 -ab -b^2\\=&-a^2 -7ab -4b^2\end{aligned}$
3. 将$a=-3$，$b=1$代入化简后的式子计算：
$\begin{aligned}&-(-3)^2 -7×(-3)×1 -4×1^2\\=&-9 +21 -4\\=&8\end{aligned}$
【答案】
8
【知识点】
整式的加减，代数式求值，合并同类项
【点评】
本题的解题关键是理解“代数式的值与某字母取值无关”的含义，即该字母对应所有项的系数均为0，计算过程中要注意去括号时的符号变化，合并同类项时要准确识别同类项，避免出现计算错误。
【难度系数】
0.6
9. 某次数学活动课上，数学老师组织同学们开展数学活动，将完全相同的一些小球平均分给A，B，C三名同学，然后依次完成以下三个步骤：
第一步：A拿出2个小球给B；
第二步：C拿出4个小球给B；
第三步：B拿出A剩余个数的小球给A。
老师说：只要均分给三名同学的小球个数都不小于4个，那么B剩下的球一定是8个。
你能用代数式的知识来解释其中的原理吗？
第一步：A拿出2个小球给B；
第二步：C拿出4个小球给B；
第三步：B拿出A剩余个数的小球给A。
老师说：只要均分给三名同学的小球个数都不小于4个，那么B剩下的球一定是8个。
你能用代数式的知识来解释其中的原理吗？
答案
设均分后每人得到球的个数是$x$,则第一步后,A有$(x-2)$个,B有$(x+2)$个,C有$x$个;第二步后,A有$(x-2)$个,B有$(x+6)$个,C有$(x-4)$个;第三步后,B的个数为$(x+6)-(x-2)=8$(个)。
解析
【分析】
我们可以先设初始平均分配时每人的小球数为未知数，再按照题目给出的三步操作顺序，依次用含未知数的代数式表示每一步后A、B的小球数量，最后化简第三步结束后B的小球数量，若结果为常数8即可验证原理。解题时需注意第三步B拿出的小球数等于操作前A剩余的小球数，要先确定第三步前A的数量再计算。
【解析】
设最开始平均分给三名同学时，每人得到的小球个数为$ x $（$ x≥4 $）。
1. 第一步操作后：A拿出2个给B，因此A有$ (x-2) $个，B有$ (x+2) $个，C数量不变为$ x $个。
2. 第二步操作后：C拿出4个给B，因此A数量仍为$ (x-2) $个，B有$ x+2+4=(x+6) $个，C有$ (x-4) $个。
3. 第三步操作后：B拿出和A剩余个数相等的小球给A，即拿出$ (x-2) $个，因此B剩余的小球数为：
$ (x+6)-(x-2)=x+6-x+2=8 $（个）
最终B的剩余数是固定值8，和初始$ x $的取值无关，仅需满足$ x≥4 $即可。
【答案】
设均分后每人得到球的个数是$ x $,则第一步后,A有$ (x-2) $个,B有$ (x+2) $个,C有$ x $个;第二步后,A有$ (x-2) $个,B有$ (x+6) $个,C有$ (x-4) $个;第三步后,B的个数为$ (x+6)-(x-2)=8 $个，因此B剩下的球一定是8个。
【知识点】
列代数式；整式的加减运算
【点评】
本题结合实际活动场景考查整式的应用，核心是理清每一步操作对应的数量变化，通过设未知数将动态的数量变化转化为代数式运算，化简后即可得到定值结论，体现了代数式可用来表示、验证普遍规律的作用。
【难度系数】
0.7
我们可以先设初始平均分配时每人的小球数为未知数，再按照题目给出的三步操作顺序，依次用含未知数的代数式表示每一步后A、B的小球数量，最后化简第三步结束后B的小球数量，若结果为常数8即可验证原理。解题时需注意第三步B拿出的小球数等于操作前A剩余的小球数，要先确定第三步前A的数量再计算。
【解析】
设最开始平均分给三名同学时，每人得到的小球个数为$ x $（$ x≥4 $）。
1. 第一步操作后：A拿出2个给B，因此A有$ (x-2) $个，B有$ (x+2) $个，C数量不变为$ x $个。
2. 第二步操作后：C拿出4个给B，因此A数量仍为$ (x-2) $个，B有$ x+2+4=(x+6) $个，C有$ (x-4) $个。
3. 第三步操作后：B拿出和A剩余个数相等的小球给A，即拿出$ (x-2) $个，因此B剩余的小球数为：
$ (x+6)-(x-2)=x+6-x+2=8 $（个）
最终B的剩余数是固定值8，和初始$ x $的取值无关，仅需满足$ x≥4 $即可。
【答案】
设均分后每人得到球的个数是$ x $,则第一步后,A有$ (x-2) $个,B有$ (x+2) $个,C有$ x $个;第二步后,A有$ (x-2) $个,B有$ (x+6) $个,C有$ (x-4) $个;第三步后,B的个数为$ (x+6)-(x-2)=8 $个，因此B剩下的球一定是8个。
【知识点】
列代数式；整式的加减运算
【点评】
本题结合实际活动场景考查整式的应用，核心是理清每一步操作对应的数量变化，通过设未知数将动态的数量变化转化为代数式运算，化简后即可得到定值结论，体现了代数式可用来表示、验证普遍规律的作用。
【难度系数】
0.7
