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1. 测量原理：
相似三角形对应边成比例
。答案
1.相似三角形对应边成比例
解析
【分析】
本题考查利用相似三角形测高的基本原理，解题时首先回忆相似三角形的相关性质：利用相似三角形测高时，我们需要构造两个相似的三角形，将待测高度与可测量的线段分别归入两个相似三角形的对应边中，借助相似三角形边的关系即可计算出待测高度，因此只要明确相似三角形对应边的关系就能得出答案。
【解析】
在利用相似三角形测高的实践活动中，通常会构造两个角分别相等的相似三角形，根据相似三角形的性质，相似三角形的对应边成比例，此时只需测量出已知边的长度，代入对应边的比例式中，即可求出待测物体的高度，因此该测量原理为相似三角形对应边成比例。
【答案】
相似三角形对应边成比例
【知识点】
相似三角形的性质；利用相似三角形测高
【点评】
本题属于基础概念类题目，主要考查对利用相似三角形测高相关原理的识记，只要掌握相似三角形的基本性质就能顺利答题。
【难度系数】
0.9
本题考查利用相似三角形测高的基本原理，解题时首先回忆相似三角形的相关性质：利用相似三角形测高时，我们需要构造两个相似的三角形，将待测高度与可测量的线段分别归入两个相似三角形的对应边中，借助相似三角形边的关系即可计算出待测高度，因此只要明确相似三角形对应边的关系就能得出答案。
【解析】
在利用相似三角形测高的实践活动中，通常会构造两个角分别相等的相似三角形，根据相似三角形的性质，相似三角形的对应边成比例，此时只需测量出已知边的长度，代入对应边的比例式中，即可求出待测物体的高度，因此该测量原理为相似三角形对应边成比例。
【答案】
相似三角形对应边成比例
【知识点】
相似三角形的性质；利用相似三角形测高
【点评】
本题属于基础概念类题目，主要考查对利用相似三角形测高相关原理的识记，只要掌握相似三角形的基本性质就能顺利答题。
【难度系数】
0.9
1.小明的身高为1.5 m，某一时刻小明在阳光下的影长是0.5 m；同一时刻同一地点，测得学校教学大楼的影长是5 m，则该教学大楼的高度为(
A.12.5 m
B.15 m
C.20 m
D.25 m
B
)。A.12.5 m
B.15 m
C.20 m
D.25 m
答案
1.B
解析
【分析】
同一时刻同一地点，太阳光线为平行光线，此时竖直放置的物体高度与其影长构成的直角三角形彼此相似，根据相似三角形对应边成比例的性质，可得物体高度与影长的比值相等，因此我们可以设教学大楼的高度为未知数，建立比例式求解即可。
【解析】
解：设该教学大楼的高度为$ x \, \mathrm{m} $。
∵ 同一时刻同一地点，物高与影长的比值相等（相似三角形对应边成比例）
∴ $\frac{\mathrm{小明的身高}}{\mathrm{小明的影长}}=\frac{\mathrm{教学大楼的高度}}{\mathrm{教学大楼的影长}}$
代入数据得：$\frac{1.5}{0.5}=\frac{x}{5}$
解得：$ x = 1.5 ÷ 0.5 × 5 = 15 $
所以教学大楼的高度为15m，选B。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的应用，平行投影的性质，比例运算
【点评】
本题是利用相似三角形解决实际测量问题的基础题型，解题核心是抓住同一时刻物高与影长成正比的规律，建立比例关系即可快速求解，侧重对基础知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.9
同一时刻同一地点，太阳光线为平行光线，此时竖直放置的物体高度与其影长构成的直角三角形彼此相似，根据相似三角形对应边成比例的性质，可得物体高度与影长的比值相等，因此我们可以设教学大楼的高度为未知数，建立比例式求解即可。
【解析】
解：设该教学大楼的高度为$ x \, \mathrm{m} $。
∵ 同一时刻同一地点，物高与影长的比值相等（相似三角形对应边成比例）
∴ $\frac{\mathrm{小明的身高}}{\mathrm{小明的影长}}=\frac{\mathrm{教学大楼的高度}}{\mathrm{教学大楼的影长}}$
代入数据得：$\frac{1.5}{0.5}=\frac{x}{5}$
解得：$ x = 1.5 ÷ 0.5 × 5 = 15 $
所以教学大楼的高度为15m，选B。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的应用，平行投影的性质，比例运算
【点评】
本题是利用相似三角形解决实际测量问题的基础题型，解题核心是抓住同一时刻物高与影长成正比的规律，建立比例关系即可快速求解，侧重对基础知识应用能力的考查。
【难度系数】
0.9
2.【数学应用】如图所示的是小明用手电筒来测量某古城墙高度的示意图，点P处水平放置一面平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处。已知$AB⊥BD$，$CD⊥BD$，且测得$AB=1.2\ \mathrm{m}$，$BP=1.8\ \mathrm{m}$，$PD=12\ \mathrm{m}$，那么该古城墙的高度是（
A.6 m
B.8 m
C.18 m
D.24 m
（第2题）（第3题）
B
）。A.6 m
B.8 m
C.18 m
D.24 m
（第2题）（第3题）
答案
2.B
解析
【分析】
解题时首先结合平面镜反射的原理，得到∠APB=∠CPD，再结合AB⊥BD、CD⊥BD得到两个直角相等，即可证明△ABP与△CDP相似；再根据相似三角形对应边成比例的性质，列出比例式代入已知数据计算，就能求出古城墙CD的高度。
【解析】
根据平面镜反射规律，入射角等于反射角，可得$∠ APB=∠ CPD$。
$\because AB⊥ BD$，$CD⊥ BD$，$\therefore ∠ ABP=∠ CDP=90°$。
$\therefore △ ABP ∽ △ CDP$（两角分别相等的两个三角形相似）。
根据相似三角形的性质，对应边成比例，可得：
$\frac{AB}{CD}=\frac{BP}{PD}$
将$AB=1.2\ \mathrm{m}$，$BP=1.8\ \mathrm{m}$，$PD=12\ \mathrm{m}$代入上式：
$\frac{1.2}{CD}=\frac{1.8}{12}$
解得：$CD=\frac{1.2×12}{1.8}=8\ \mathrm{m}$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，光的反射规律
【点评】
本题是结合实际场景的应用类题目，将物理的光反射知识与数学相似三角形的内容相结合，解题核心是证明三角形相似，再利用相似的性质求解未知边长，能够考查学生知识迁移和解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合平面镜反射的原理，得到∠APB=∠CPD，再结合AB⊥BD、CD⊥BD得到两个直角相等，即可证明△ABP与△CDP相似；再根据相似三角形对应边成比例的性质，列出比例式代入已知数据计算，就能求出古城墙CD的高度。
【解析】
根据平面镜反射规律，入射角等于反射角，可得$∠ APB=∠ CPD$。
$\because AB⊥ BD$，$CD⊥ BD$，$\therefore ∠ ABP=∠ CDP=90°$。
$\therefore △ ABP ∽ △ CDP$（两角分别相等的两个三角形相似）。
根据相似三角形的性质，对应边成比例，可得：
$\frac{AB}{CD}=\frac{BP}{PD}$
将$AB=1.2\ \mathrm{m}$，$BP=1.8\ \mathrm{m}$，$PD=12\ \mathrm{m}$代入上式：
$\frac{1.2}{CD}=\frac{1.8}{12}$
解得：$CD=\frac{1.2×12}{1.8}=8\ \mathrm{m}$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，光的反射规律
【点评】
本题是结合实际场景的应用类题目，将物理的光反射知识与数学相似三角形的内容相结合，解题核心是证明三角形相似，再利用相似的性质求解未知边长，能够考查学生知识迁移和解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
3.为测量操场上旗杆的高度，设计的测量方案如图所示，标杆高度$CD=3\ \mathrm{m}$，标杆与旗杆的水平距离$BD=15\ \mathrm{m}$，人的眼睛到地面的高度$EF=1.6\ \mathrm{m}$，人与标杆$CD$的水平距离$DF=2\ \mathrm{m}$，$E$，$C$，$A$三点共线，则旗杆$AB$的高度为(
A.15 m
B.14.5 m
C.13.5 m
D.13 m
C
)。A.15 m
B.14.5 m
C.13.5 m
D.13 m
答案
3.C
解析
【分析】
本题属于利用相似三角形测高的实际应用问题，解题思路如下：首先通过作辅助线构造出两个相似的三角形，利用“平行于三角形一边的直线截另外两边，所得的三角形与原三角形相似”证明相似；其次找到两个相似三角形的对应边长度，其中标杆比人高的部分、人到标杆的水平距离为小三角形的两条边，旗杆比人高的部分、人到旗杆的水平距离为大三角形的对应边；最后利用相似三角形对应边成比例列式求出旗杆比人高的长度，再加上人眼到地面的高度即可得到旗杆总高度。
【解析】
过点E作EH⊥AB，垂足为H，交CD于点G。
∵ CD⊥FB，AB⊥FB，
∴ CD//AB，
∴ △ECG∽△EAH。
由题意可知：
EG=DF=2 m，GH=BD=15 m，故EH=EG+GH=2+15=17 m，
CG=CD-EF=3-1.6=1.4 m，HB=EF=1.6 m。
根据相似三角形对应边成比例，可得：$\frac{CG}{AH}=\frac{EG}{EH}$，
代入数值得：$\frac{1.4}{AH}=\frac{2}{17}$，
解得$AH=\frac{1.4×17}{2}=11.9$ m。
∴ AB=AH+HB=11.9+1.6=13.5 m。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形的实际应用
【点评】
本题是相似三角形在实际测量问题中的典型应用，核心是构造相似三角形，将实际长度转化为三角形的对应边，结合相似三角形的性质列比例式求解即可，解题时注意不要漏加人眼到地面的高度。
【难度系数】
0.7
本题属于利用相似三角形测高的实际应用问题，解题思路如下：首先通过作辅助线构造出两个相似的三角形，利用“平行于三角形一边的直线截另外两边，所得的三角形与原三角形相似”证明相似；其次找到两个相似三角形的对应边长度，其中标杆比人高的部分、人到标杆的水平距离为小三角形的两条边，旗杆比人高的部分、人到旗杆的水平距离为大三角形的对应边；最后利用相似三角形对应边成比例列式求出旗杆比人高的长度，再加上人眼到地面的高度即可得到旗杆总高度。
【解析】
过点E作EH⊥AB，垂足为H，交CD于点G。
∵ CD⊥FB，AB⊥FB，
∴ CD//AB，
∴ △ECG∽△EAH。
由题意可知：
EG=DF=2 m，GH=BD=15 m，故EH=EG+GH=2+15=17 m，
CG=CD-EF=3-1.6=1.4 m，HB=EF=1.6 m。
根据相似三角形对应边成比例，可得：$\frac{CG}{AH}=\frac{EG}{EH}$，
代入数值得：$\frac{1.4}{AH}=\frac{2}{17}$，
解得$AH=\frac{1.4×17}{2}=11.9$ m。
∴ AB=AH+HB=11.9+1.6=13.5 m。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；相似三角形的实际应用
【点评】
本题是相似三角形在实际测量问题中的典型应用，核心是构造相似三角形，将实际长度转化为三角形的对应边，结合相似三角形的性质列比例式求解即可，解题时注意不要漏加人眼到地面的高度。
【难度系数】
0.7
4.如图，小明在水平地面上放了一个平面镜，选择合适的位置，刚好在平面镜中看到旗杆的顶部，此时小明到平面镜的水平距离为2 m，旗杆底部到平面镜的水平距离为16 m。若小明的眼睛到地面的距离为1.5 m，则旗杆的高度为（
A.$\frac{16}{3}$ m
B.9 m
C.12 m
D.$\frac{64}{3}$ m
C
）。A.$\frac{16}{3}$ m
B.9 m
C.12 m
D.$\frac{64}{3}$ m
答案
4.C
解析
【分析】
这是一道利用相似三角形解决实际测高的问题，解题思路如下：首先结合平面镜反射“入射角等于反射角”的特点，可得出小明与平面镜构成的直角三角形、旗杆与平面镜构成的直角三角形有两组对应角相等，即可判定两个三角形相似；再根据相似三角形对应边成比例的性质，代入已知的距离、身高数据，列比例式即可求解旗杆高度。
【解析】
解：设旗杆的高度为$ h $ m。
根据平面镜反射原理，入射角等于反射角，因此小明的视线与水平地面的夹角、旗杆顶部反射光线与水平地面的夹角相等；又因为小明的身高、旗杆都与水平地面垂直，因此两个三角形均为直角三角形，且有两组对应角相等，所以两个直角三角形相似。
由相似三角形对应边成比例可得：
$\frac{\mathrm{小明眼睛到地面的距离}}{\mathrm{旗杆高度}}=\frac{\mathrm{小明到平面镜的水平距离}}{\mathrm{旗杆底部到平面镜的水平距离}}$
代入数据$\frac{1.5}{h}=\frac{2}{16}$
解得$h=\frac{1.5×16}{2}=12$，即旗杆高度为12m。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；平面镜反射原理
【点评】
本题属于跨学科的实际应用类题目，结合了物理光的反射知识和数学相似三角形的内容，考查学生将实际问题转化为几何模型的能力，解题核心是准确识别相似三角形，找准对应边的比例关系。
【难度系数】
0.7
这是一道利用相似三角形解决实际测高的问题，解题思路如下：首先结合平面镜反射“入射角等于反射角”的特点，可得出小明与平面镜构成的直角三角形、旗杆与平面镜构成的直角三角形有两组对应角相等，即可判定两个三角形相似；再根据相似三角形对应边成比例的性质，代入已知的距离、身高数据，列比例式即可求解旗杆高度。
【解析】
解：设旗杆的高度为$ h $ m。
根据平面镜反射原理，入射角等于反射角，因此小明的视线与水平地面的夹角、旗杆顶部反射光线与水平地面的夹角相等；又因为小明的身高、旗杆都与水平地面垂直，因此两个三角形均为直角三角形，且有两组对应角相等，所以两个直角三角形相似。
由相似三角形对应边成比例可得：
$\frac{\mathrm{小明眼睛到地面的距离}}{\mathrm{旗杆高度}}=\frac{\mathrm{小明到平面镜的水平距离}}{\mathrm{旗杆底部到平面镜的水平距离}}$
代入数据$\frac{1.5}{h}=\frac{2}{16}$
解得$h=\frac{1.5×16}{2}=12$，即旗杆高度为12m。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；平面镜反射原理
【点评】
本题属于跨学科的实际应用类题目，结合了物理光的反射知识和数学相似三角形的内容，考查学生将实际问题转化为几何模型的能力，解题核心是准确识别相似三角形，找准对应边的比例关系。
【难度系数】
0.7
5.【数学应用】在一次数学活动课上，老师让同学们到操场上测量旗杆的高度，然后回来交流各自的测量方法。小芳的测量方法是拿一根高3.5 m的竹竿直立在离旗杆27 m的C处（如图），然后沿BC方向走到D处，这时目测旗杆顶部A与竹竿顶部E恰好在同一直线上，又测得C，D两点间的距离为3 m，小芳的眼睛到地面的距离为1.5 m，这样便可知道旗杆的高。这种测量方法是否可行？请说明理由。
答案
5.解:这种测量方法可行。
理由:设旗杆高 $AB=x\ \mathrm{m}$,过点 $F$ 作$FG⊥ AB$ 于点 $G$,交 $CE$ 于点 $H$,则$△ AGF∽△ EHF$。
易得 $FD=1.5\ \mathrm{m},GF=27+3=30(\mathrm{m})$,$HF=3\ \mathrm{m},EH=3.5-1.5=2(\mathrm{m})$,$AG=(x-1.5)\mathrm{m}$。
由$△ AGF∽△ EHF$,
得$\frac{AG}{EH}=\frac{GF}{HF},即\frac{x-1.5}{2}=\frac{30}{3}$,
解得 $x=21.5$。
$\therefore$旗杆的高为 $21.5\ \mathrm{m}$。
$\therefore$这种测量方法可行。
理由:设旗杆高 $AB=x\ \mathrm{m}$,过点 $F$ 作$FG⊥ AB$ 于点 $G$,交 $CE$ 于点 $H$,则$△ AGF∽△ EHF$。
易得 $FD=1.5\ \mathrm{m},GF=27+3=30(\mathrm{m})$,$HF=3\ \mathrm{m},EH=3.5-1.5=2(\mathrm{m})$,$AG=(x-1.5)\mathrm{m}$。
由$△ AGF∽△ EHF$,
得$\frac{AG}{EH}=\frac{GF}{HF},即\frac{x-1.5}{2}=\frac{30}{3}$,
解得 $x=21.5$。
$\therefore$旗杆的高为 $21.5\ \mathrm{m}$。
$\therefore$这种测量方法可行。
解析
【分析】
要判断该测量方法是否可行，只需验证能否通过已知条件求出旗杆高度即可。我们可以通过作辅助线构造相似三角形：过观测点F作水平辅助线，分别与旗杆、竹竿相交，即可得到一组有公共角的直角三角形，二者相似。再利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知的各段长度，就能列出关于旗杆高度的方程，解出旗杆高度，因此该方法可行。
【解析】
解：这种测量方法可行，理由如下：
设旗杆高 $AB=x\ \mathrm{m}$，过点 $F$ 作$FG⊥ AB$ 于点 $G$，交 $CE$ 于点 $H$。
∵ $AB⊥BD$，$CE⊥BD$，$FG⊥AB$，
∴ $AG// EH$，$∠ AGF=∠ EHF=90°$，
又
∵ $∠ AFG=∠ EFH$（公共角），
∴ $△ AGF∽△ EHF$。
由题意可得：$FD=HC=GB=1.5\ \mathrm{m}$，$GF=BD=BC+CD=27+3=30(\mathrm{m})$，$HF=CD=3\ \mathrm{m}$，
$EH=CE-HC=3.5-1.5=2(\mathrm{m})$，$AG=AB-GB=(x-1.5)\mathrm{m}$。
根据相似三角形对应边成比例，得$\frac{AG}{EH}=\frac{GF}{HF}$，
代入数值为 $\frac{x-1.5}{2}=\frac{30}{3}$，
解得 $x=21.5$。
即可求出旗杆的高为 $21.5\ \mathrm{m}$，因此这种测量方法可行。
【答案】
这种测量方法可行，旗杆的高为$\boldsymbol{21.5\ \mathrm{m}}$。
【知识点】
相似三角形的判定与性质；相似三角形的实际应用
【点评】
本题是用相似三角形解决实际测量问题的典型题型，通过构造相似三角形将难以直接测量的高度转化为可计算的线段长度，解题核心是准确识别相似三角形，正确梳理各对应边的长度关系。
【难度系数】
0.7
要判断该测量方法是否可行，只需验证能否通过已知条件求出旗杆高度即可。我们可以通过作辅助线构造相似三角形：过观测点F作水平辅助线，分别与旗杆、竹竿相交，即可得到一组有公共角的直角三角形，二者相似。再利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知的各段长度，就能列出关于旗杆高度的方程，解出旗杆高度，因此该方法可行。
【解析】
解：这种测量方法可行，理由如下：
设旗杆高 $AB=x\ \mathrm{m}$，过点 $F$ 作$FG⊥ AB$ 于点 $G$，交 $CE$ 于点 $H$。
∵ $AB⊥BD$，$CE⊥BD$，$FG⊥AB$，
∴ $AG// EH$，$∠ AGF=∠ EHF=90°$，
又
∵ $∠ AFG=∠ EFH$（公共角），
∴ $△ AGF∽△ EHF$。
由题意可得：$FD=HC=GB=1.5\ \mathrm{m}$，$GF=BD=BC+CD=27+3=30(\mathrm{m})$，$HF=CD=3\ \mathrm{m}$，
$EH=CE-HC=3.5-1.5=2(\mathrm{m})$，$AG=AB-GB=(x-1.5)\mathrm{m}$。
根据相似三角形对应边成比例，得$\frac{AG}{EH}=\frac{GF}{HF}$，
代入数值为 $\frac{x-1.5}{2}=\frac{30}{3}$，
解得 $x=21.5$。
即可求出旗杆的高为 $21.5\ \mathrm{m}$，因此这种测量方法可行。
【答案】
这种测量方法可行，旗杆的高为$\boldsymbol{21.5\ \mathrm{m}}$。
【知识点】
相似三角形的判定与性质；相似三角形的实际应用
【点评】
本题是用相似三角形解决实际测量问题的典型题型，通过构造相似三角形将难以直接测量的高度转化为可计算的线段长度，解题核心是准确识别相似三角形，正确梳理各对应边的长度关系。
【难度系数】
0.7
