1.(2024·淮安)如图,用9个直角三角形拼成一个类似海螺的图形,其中每一个直角三角形都有一条直角边长为1.记这个图形的周长(实线部分)为l,则下列整数与l最接近的是 ( )

A.14
B.13
C.12
D.11

B 解析：
∵易得第一个三角形的斜边长为$\sqrt{2}$；第二个三角形的斜边长为$\sqrt{3}$；…；第九个三角形的斜边长为$\sqrt{10}$，
∴$l=1+1×9+\sqrt{10}=10+\sqrt{10}$.
∵与$\sqrt{10}$最接近的整数是3，
∴与$10+\sqrt{10}$最接近的整数是13.

2. 勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》,汉代数学家赵爽为了证明勾股定理,创制了一幅如图①所示的“弦图”,后人称之为“赵爽弦图”。如图②所示的图形是由“弦图”变化得到的,且由八个全等的直角三角形拼接而成。记正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为$S_1,S_2,S_3。$若正方形EFGH的边长为4,则$S_1+S_2+S_3$的值为 。

48 解析：设八个全等的直角三角形的长直角边的长为a，短直角边的长为b，则$S_1=(a+b)^2$，$S_2=4^2=16$，$S_3=(a-b)^2$.由题意，得$a^2+b^2=EF^2=16$，
∴$S_1+S_2+S_3=(a+b)^2+16+(a-b)^2=2(a^2+b^2)+16=2×16+16=48$.

3. 如图,将一张长方形纸片ABCD折叠,使顶点A,C重合,折痕为FG。已知AB= 4,BC= 8,求△ABF的面积。

由折叠的性质，得$AF=CF$.设$AF=CF=x$，则$BF=8-x$.在$Rt\triangle ABF$中，由勾股定理，得$AB^2+BF^2=AF^2$，即$4^2+(8-x)^2=x^2$，解得$x=5$.
∴$BF=8-5=3$，
∴$S_{\triangle ABF}=\frac{1}{2}BF\cdot AB=\frac{1}{2}×3×4=6$

4. 如图,长方体的长为15,宽为10,高为20,点B与点C之间的距离为5。如果一只蚂蚁要沿着长方体的表面从点A处爬到点B处,那么它需要爬行的最短路程为 。

25

将长方体表面展开，有三种情况：
1. 前面和上面展开：横向距离为$15$，纵向距离为$20 + (10 - 5)=25$，路程$\sqrt{15^{2}+25^{2}}=\sqrt{850}$
2. 前面和右面展开：横向距离为$15 + (10 - 5)=20$，纵向距离为$20$，路程$\sqrt{20^{2}+20^{2}}=\sqrt{800}$
3. 左面和上面展开：横向距离为$15 + 10=25$，纵向距离为$5$，路程$\sqrt{25^{2}+5^{2}}=\sqrt{650}$
比较得最短路程为$\sqrt{650}=25$
25

5. 如图,E是正方形纸片ABCD的边BC的中点,将正方形ABCD沿AE折叠,得到点B的对应点为F,延长EF,交边DC于点P。如果AB= 6,那么DP的长为 。

2

连接AP。
∵四边形ABCD是正方形，AB=6，
∴AB=BC=CD=AD=6，∠B=∠C=∠D=90°。
∵E是BC中点，
∴BE=EC=3。
由折叠性质得：AF=AB=6，EF=BE=3，∠AFE=∠B=90°，
∴∠AFP=90°。
在Rt△AFP和Rt△ADP中，
∵AF=AD，AP=AP，
∴Rt△AFP≌Rt△ADP（HL），
∴FP=DP。
设DP=x，则PC=CD-DP=6-x，FP=x，EP=EF+FP=3+x。
在Rt△ECP中，EC=3，PC=6-x，EP=3+x，
由勾股定理得：EC²+PC²=EP²，
即3²+(6-x)²=(3+x)²，
9+36-12x+x²=9+6x+x²，
-18x=-36，
x=2。
∴DP的长为2。