1.“减去一个数，等于加上这个数的相反数”是有理数的减法法则，用字母表示为“”；请你借助符号描述有理数的除法法则：。

解：
$a - b = a + (-b)$；
除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，用字母表示为$a÷ b = a· \frac{1}{b}\ (b≠ 0)$。

【分析】
本题考查有理数减法和除法法则的字母表示，解题思路如下：①对于减法法则，我们分别用a表示被减数，b表示减数，根据文字表述“减去b等于加上b的相反数”，即可写出对应的字母表达式；②对于除法法则，首先要明确除数不能为0的前提，再根据“除以一个不为0的数等于乘这个数的倒数”，分别用a表示被除数，b表示不为0的除数，写出对应的字母表达式，同时要标注b≠0的限定条件。
【解析】
解：首先推导有理数减法法则的字母表示：
设被减数为a，减数为b，根据“减去一个数，等于加上这个数的相反数”，可得：$a - b = a + (-b)$。
再推导有理数除法法则的表示：
有理数除法的文字法则为：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数；设被除数为a，除数为b（0作除数无意义，因此$b≠ 0$），则对应的字母表达式为：$a÷ b = a· \frac{1}{b}\ (b≠ 0)$。
【答案】
$a - b = a + (-b)$；除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，用字母表示为$a÷ b = a· \frac{1}{b}\ (b≠ 0)$
【知识点】
有理数减法法则；有理数除法法则
【点评】
本题是基础概念考查题，重点需要注意有理数除法法则中除数不为0的限定条件，书写字母表达式时不能遗漏该条件。
【难度系数】
0.8

2. 计算：$\frac{-18}{9}=$；$\frac{-25}{-15}=$；$-\frac{-12}{36}=$。

解：
$\frac{-18}{9} = -18 ÷ 9 = -2$
$\frac{-25}{-15} = (-25) ÷ (-15) = \frac{25}{15} = \frac{5}{3}$
$-\frac{-12}{36} = -( (-12) ÷ 36 ) = -( -\frac{1}{3} ) = \frac{1}{3}$
最终答案依次为：$\boldsymbol{-2}$；$\boldsymbol{\frac{5}{3}}$；$\boldsymbol{\frac{1}{3}}$。

【分析】
本题考查有理数的除法运算，解题思路如下：首先明确分数等价于分子除以分母，先将分数形式转化为除法运算；再依据有理数除法的符号法则：两数相除，同号得正、异号得负，先确定最终结果的符号；最后计算分子与分母绝对值的商，约分得到最简结果，若存在多层负号，需逐层处理，避免符号判断错误。
【解析】
1. 计算$\frac{-18}{9}$：
将分数转化为除法可得$\frac{-18}{9}=-18÷9$，两数异号结果为负，计算绝对值的商$18÷9=2$，因此结果为$-2$。
2. 计算$\frac{-25}{-15}$：
将分数转化为除法可得$\frac{-25}{-15}=(-25)÷(-15)$，两数同号结果为正，计算绝对值的商$25÷15=\frac{25}{15}$，约分后得$\frac{5}{3}$。
3. 计算$-\frac{-12}{36}$：
先计算内层分数部分：$\frac{-12}{36}=(-12)÷36=-\frac{1}{3}$，再处理外层负号：$-(-\frac{1}{3})=\frac{1}{3}$。
【答案】
$-2$；$\frac{5}{3}$；$\frac{1}{3}$
【知识点】
有理数除法运算；分数约分；符号化简
【点评】
本题是有理数除法的基础运算题，核心考点是除法运算中的符号判断，解题时需先定符号再算数值，多层负号要逐层推导，约分要化到最简形式，养成先判断符号再计算的习惯可有效降低错误率。
【难度系数】
0.9

3. 下列运算错误的是（填序号）.
① $\dfrac{1}{4} ÷ (-4) = 4 × (-4)$；
② $-5 ÷ (-\dfrac{1}{2}) = -5 × (-2)$；
③ $1 ÷ (-\dfrac{1}{3}) = 1 × (-3)$；
④ $-\dfrac{3}{4} ÷ (-\dfrac{2}{3}) = -\dfrac{3}{4} × (-\dfrac{2}{3})$.

解：根据有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，逐一判断：
① $\dfrac{1}{4}÷(-4)=\dfrac{1}{4}×(-\dfrac{1}{4})≠4×(-4)$，运算错误；
② $-5÷(-\dfrac{1}{2})=-5×(-2)$，符合运算法则，运算正确；
③ $1÷(-\dfrac{1}{3})=1×(-3)$，符合运算法则，运算正确；
④ $-\dfrac{3}{4}÷(-\dfrac{2}{3})=-\dfrac{3}{4}×(-\dfrac{3}{2})≠-\dfrac{3}{4}×(-\dfrac{2}{3})$，运算错误。
所以运算错误的是$\boldsymbol{①④}$。

【分析】
本题考查有理数除法的运算规则，解题思路是先回忆有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数。判断每个式子是否正确的要点为：除法转乘法时，被除数保持不变，除号改为乘号，除数替换为它的倒数，我们逐个对4个式子进行核对即可找出运算错误的选项。
【解析】
根据有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，逐一判断：
① $\dfrac{1}{4}÷(-4)=\dfrac{1}{4}×(-\dfrac{1}{4})≠4×(-4)$，运算错误；
② $-5÷(-\dfrac{1}{2})=-5×(-2)$，符合运算法则，运算正确；
③ $1÷(-\dfrac{1}{3})=1×(-3)$，符合运算法则，运算正确；
④ $-\dfrac{3}{4}÷(-\dfrac{2}{3})=-\dfrac{3}{4}×(-\dfrac{3}{2})≠-\dfrac{3}{4}×(-\dfrac{2}{3})$，运算错误。
【答案】
①④
【知识点】
有理数除法法则，倒数的认识
【点评】
本题属于基础运算类题目，重点考查有理数除法转化为乘法的规则，易错点是转换时误改被除数，或者求错除数的倒数，熟练掌握除法转乘法的三个变换要点（被除数不变、除号变乘号、除数变倒数）即可准确解题。
【难度系数】
0.75

4.若$\frac{a}{b}＞0,\frac{b}{c}＜0$,则$\frac{c}{a}$（填“＞”或“＜”）0.

解：
由$\frac{a}{b}＞0$，可知a与b同号；
由$\frac{b}{c}＜0$，可知b与c异号；
因此a与c异号，
所以$\frac{c}{a}＜0$。

【分析】
解题时需运用有理数除法的符号规律：两数相除，同号得正，异号得负。首先根据第一个已知不等式判断a和b的符号关系，再根据第二个已知不等式判断b和c的符号关系，以b的符号为中间桥梁，就能推出a和c的符号关系，最终确定$\frac{c}{a}$的符号。
【解析】
由$\frac{a}{b}＞0$，根据有理数除法“同号得正”的法则，可知a与b符号相同；
由$\frac{b}{c}＜0$，根据有理数除法“异号得负”的法则，可知b与c符号相反；
因此a与c符号相反，
根据有理数除法法则，异号两数相除结果为负，所以$\frac{c}{a}＜0$。
【答案】
＜
【知识点】
有理数除法法则；有理数符号判断
【点评】
本题属于基础应用类题型，核心考查有理数除法符号规律的运用，解题关键是通过中间量b建立a和c的符号关联，熟练掌握相关法则即可快速解题。
【难度系数】
0.9

5.在-2，-3，4，5中，任取两个数相除，商最小是。

$\boldsymbol{-2.5}$

【分析】
要找到两个数相除的最小商，首先结合有理数除法的符号规律：同号相除得正，异号相除得负，由于正数都大于负数，因此最小的商一定是异号两数相除得到的负数。接下来要让这个负数最小，就需要它的绝对值最大，也就是选择“被除数的绝对值尽可能大、除数的绝对值尽可能小”的异号两数组合，计算即可得到结果。
【解析】
第一步：根据有理数除法的符号规则，最小商为异号两数相除得到的负数，且该负数的绝对值越大，数值越小。
第二步：列出所有数的绝对值：$|-2|=2$，$|-3|=3$，$|4|=4$，$|5|=5$，其中绝对值最大的数是5，和它异号且绝对值最小的数是$-2$。
第三步：计算商：$5÷(-2)=-2.5$，验证其余异号相除的组合，所得商都大于$-2.5$，因此最小商是$-2.5$。
【答案】
$\boldsymbol{-2.5}$
【知识点】
有理数除法法则，有理数大小比较
【点评】
本题解题的核心是先通过符号规则缩小可选范围，再通过绝对值的大小筛选最优组合，无需枚举所有除法组合即可快速得到结果，注意不要混淆“商最小”和“商的绝对值最小”的要求。
【难度系数】
0.7

6.某同学在计算－16÷a时，误把“÷”看成“＋”，得到结果是－12，则－16÷a的正确结果是。

$\boldsymbol{-4}$

【分析】
解题时要抓住“误把‘÷’看成‘+’得到结果-12”的条件，虽然运算符号看错了，但参数a的值是固定不变的。我们可以先根据错误的运算列出等式，求出a的取值，再把a代入正确的算式-16÷a中计算，就能得到最终的正确结果。
【解析】
第一步：根据错误运算列等式求a的值
误将“÷”看成“+”时，运算式为：$\boldsymbol{-16 + a = -12}$
根据有理数加减法中“加数=和-另一个加数”的关系可得：
$a = -12 - (-16) = -12 + 16 = 4$
第二步：代入a的值计算正确结果
将$a=4$代入$-16÷ a$得：
$-16÷ 4 = -4$
【答案】
$\boldsymbol{-4}$
【知识点】
1.有理数加减运算
2.有理数除法运算
3.一元一次方程简单应用
【点评】
本题属于基础运算类题型，解题核心是通过错误运算的结果反推未知参数，只要熟练掌握有理数的四则运算法则，计算时注意符号判断，就能顺利得分。
【难度系数】
0.8

7.若$|x|=4$，$|y|=6$，且$x-y＞0$，则$\frac{x}{y}=$

解：
由$|x|=4$，得$x=\pm4$，
由$|y|=6$，得$y=\pm6$。
因为$x-y＞0$，即$x＞y$，
所以符合条件的$x,y$取值为：
①当$x=4$时，$y=-6$，此时$\frac{x}{y}=\frac{4}{-6}=-\frac{2}{3}$；
②当$x=-4$时，$y=-6$，此时$\frac{x}{y}=\frac{-4}{-6}=\frac{2}{3}$。
综上，$\frac{x}{y}=\pm\frac{2}{3}$。

【分析】
解题时首先根据绝对值的性质，求出x、y的所有可能取值；再结合题目给出的x-y＞0的条件，也就是x大于y，筛选出符合要求的x、y的取值组合；最后将每组符合条件的x、y代入$\frac{x}{y}$计算结果即可，注意不要遗漏符合条件的情况，计算时要遵守有理数除法的符号规则。
【解析】
由$|x|=4$，根据绝对值的性质可得$x=\pm4$；
由$|y|=6$，根据绝对值的性质可得$y=\pm6$。
已知$x-y＞0$，移项可得$x＞y$，据此筛选取值：
①当$x=4$时，要满足$x＞y$，$y$只能取$-6$，此时$\frac{x}{y}=\frac{4}{-6}=-\frac{2}{3}$；
②当$x=-4$时，要满足$x＞y$，$y$只能取$-6$，此时$\frac{x}{y}=\frac{-4}{-6}=\frac{2}{3}$。
综上，$\frac{x}{y}$的值为$\pm\frac{2}{3}$。
【答案】
$\pm\frac{2}{3}$
【知识点】
绝对值的性质；有理数大小比较；有理数的除法
【点评】
本题重点考查绝对值性质的应用以及分类讨论的数学思想，解题时需先列出所有可能的取值，再结合约束条件筛选出符合要求的组合，计算时要注意有理数除法的符号判断，避免漏解或符号错误。
【难度系数】
0.7

8.计算：
(1) $\frac{12}{25} ÷ (-\frac{3}{5});$
(2) $-\frac{2}{3} ÷ (-\frac{3}{2});$
(3) $(-2\frac{1}{7}) ÷ \frac{5}{14};$
(4) $0 ÷ (-\frac{1}{8}).$

解：
(1) 原式$=\frac{12}{25} × (-\frac{5}{3})$
$=-\frac{4}{5}$
(2) 原式$=-\frac{2}{3} × (-\frac{2}{3})$
$=\frac{4}{9}$
(3) 原式$=(-\frac{15}{7}) × \frac{14}{5}$
$=-6$
(4) 原式$=0$

【分析】
解决有理数除法运算需紧扣有理数除法法则：①除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数；②两数相除，同号得正、异号得负，绝对值相除；③0除以任意非0的数都得0。解题时按三步思考：第一步先根据被除数和除数的符号确定结果的符号；第二步将除法运算转化为乘法运算，若算式中有带分数，要先转化为假分数再计算；第三步约分计算绝对值即可，若被除数为0可直接得出结果为0。
【解析】
(1) 正数除以负数结果为负，将除法转化为乘法计算：
原式$=\frac{12}{25} × (-\frac{5}{3})$
$=-\frac{4}{5}$
(2) 负数除以负数结果为正，将除法转化为乘法计算：
原式$=-\frac{2}{3} × (-\frac{2}{3})$
$=\frac{4}{9}$
(3) 先将带分数化为假分数，负数除以正数结果为负，再转化为乘法计算：
原式$=(-\frac{15}{7}) × \frac{14}{5}$
$=-6$
(4) 根据0除以任意非0数都得0，直接得出结果：
原式$=0$
【答案】
(1) $-\frac{4}{5}$；(2) $\frac{4}{9}$；(3) $-6$；(4) $0$
【知识点】
有理数除法法则，倒数的应用，带分数化假分数
【点评】
本题属于有理数运算的基础题，核心考察有理数除法的运算规则，易错点为符号判断错误、带分数转化失误、约分出错，解题时养成先定符号再算绝对值的习惯，可有效降低错误率，这类基础运算需要熟练掌握，为后续复杂有理数运算打好基础。
【难度系数】
0.8

9. 提升题 分类讨论是一种重要的数学方法，如在化简$|a|$时，可以这样分类：当$a＞0$时，$|a|=a$；当$a=0$时，$|a|=0$；当$a＜0$时，$|a|=-a$。用这种方法解答下列问题：
(1)当$a=-2$时，$\frac{a}{|a|}$的值为。
(2)若有理数$a$不等于0，则$\frac{|a|}{a}$的值为。
(3)若有理数$a,b$异号，求$\frac{a}{|a|}+\frac{|b|}{b}$的值。

解：
(1) 当$a=-2$时，$|a|=|-2|=2$，
所以$\frac{a}{|a|}=\frac{-2}{2}=-1$。
(2) 当$a＞0$时，$|a|=a$，则$\frac{|a|}{a}=\frac{a}{a}=1$；
当$a＜0$时，$|a|=-a$，则$\frac{|a|}{a}=\frac{-a}{a}=-1$。
所以$\frac{|a|}{a}$的值为$1$或$-1$。
(3) 由有理数$a,b$异号，分两种情况讨论：
① 当$a＞0$，$b＜0$时，
$\frac{a}{|a|}=\frac{a}{a}=1$，$\frac{|b|}{b}=\frac{-b}{b}=-1$，
$\frac{a}{|a|}+\frac{|b|}{b}=1+(-1)=0$；
② 当$a＜0$，$b＞0$时，
$\frac{a}{|a|}=\frac{a}{-a}=-1$，$\frac{|b|}{b}=\frac{b}{b}=1$，
$\frac{a}{|a|}+\frac{|b|}{b}=-1+1=0$。
综上，$\frac{a}{|a|}+\frac{|b|}{b}$的值为$0$。

【分析】
本题考查绝对值的化简与分类讨论思想的应用，解题思路如下：
(1) 第一问已知a的具体取值，直接代入计算a的绝对值，再求分式的值即可；
(2) 第二问a不为0，根据绝对值的性质，分a＞0和a＜0两种情况，分别化简|a|后计算分式的值；
(3) 第三问已知a、b异号，分a正b负、a负b正两种情况，分别化简两个分式后求和，两种情况结果一致即可得到最终答案。
【解析】
(1) 当$a=-2$时，$|a|=|-2|=2$，
所以$\frac{a}{|a|}=\frac{-2}{2}=-1$。
(2) 若有理数$a$不等于0，分两种情况讨论：
当$a＞0$时，$|a|=a$，则$\frac{|a|}{a}=\frac{a}{a}=1$；
当$a＜0$时，$|a|=-a$，则$\frac{|a|}{a}=\frac{-a}{a}=-1$。
所以$\frac{|a|}{a}$的值为$1$或$-1$。
(3) 由有理数$a,b$异号，分两种情况讨论：
① 当$a＞0$，$b＜0$时，
$\frac{a}{|a|}=\frac{a}{a}=1$，$\frac{|b|}{b}=\frac{-b}{b}=-1$，
$\frac{a}{|a|}+\frac{|b|}{b}=1+(-1)=0$；
② 当$a＜0$，$b＞0$时，
$\frac{a}{|a|}=\frac{a}{-a}=-1$，$\frac{|b|}{b}=\frac{b}{b}=1$，
$\frac{a}{|a|}+\frac{|b|}{b}=-1+1=0$。
综上，$\frac{a}{|a|}+\frac{|b|}{b}$的值为$0$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-1}$；(2) $\boldsymbol{1}$或$\boldsymbol{-1}$；(3) $\boldsymbol{0}$
【知识点】
绝对值的化简；分类讨论思想；有理数的除法
【点评】
本题围绕绝对值的性质展开，核心考查分类讨论的数学方法，解题时需根据绝对值内代数式的正负性分类化简，题目设置由浅入深，既巩固了绝对值的基础运算，也能帮助学生建立分类讨论的解题思维。
【难度系数】
0.7