如果$x$是一个有理数,我们把不超过$x$的最大整数记作$[x]$。
例如,$[3.2] = 3$,$[5] = 5$,$[-2.1] = -3$。那么,$x = [x] + a$,其中$0 ≤ a < 1$。
例如,$3.2 = [3.2] + 0.2$,$5 = [5] + 0$,$-2.1 = [-2.1] + 0.9$。
请你解决下列问题:
(1)$[4.8] = $
(2)如果$[x] = 3$,那么$x$的取值范围是
(3)如果$[5x - 2] = 3x + 1$,那么$x$是多少?
(4)如果$x = [x] + a$,其中$0 ≤ a < 1$,且$4a = [x] + 1$,求$x$的值。
例如,$[3.2] = 3$,$[5] = 5$,$[-2.1] = -3$。那么,$x = [x] + a$,其中$0 ≤ a < 1$。
例如,$3.2 = [3.2] + 0.2$,$5 = [5] + 0$,$-2.1 = [-2.1] + 0.9$。
请你解决下列问题:
(1)$[4.8] = $
4
,$[-6.5] = $-7
;(2)如果$[x] = 3$,那么$x$的取值范围是
$3 ≤ x < 4$
;(3)如果$[5x - 2] = 3x + 1$,那么$x$是多少?
(4)如果$x = [x] + a$,其中$0 ≤ a < 1$,且$4a = [x] + 1$,求$x$的值。
答案
(1)解:$[4.8] = 4$,$[-6.5] = -7$。故答案为:4,-7。
(2)解:如果$[x] = 3$。那么$x$的取值范围是$3 ≤ x < 4$。故答案为:$3 ≤ x < 4$。
(3)解:如果$[5x - 2] = 3x + 1$,那么$3x + 1 ≤ 5x - 2 < 3x + 2$。解得:$\frac{3}{2} ≤ x < 2$。
∵$3x + 1$是整数。
∴$x = \frac{5}{3}$。故答案为:$\frac{5}{3}$。
(4)解:
∵$x = [x] + a$,其中$0 ≤ a < 1$。
∴$[x] = x - a$,
∵$4a = [x] + 1$,
∴$a = \frac{[x] + 1}{4}$
∵$0 ≤ a < 1$,
∴$0 ≤ \frac{[x] + 1}{4} < 1$,
∴$-1 ≤ [x] < 3$,
∴$[x] = -1$,0,1,2。
当$[x] = -1$时,$a = 0$,$x = -1$,
当$[x] = 0$时,$a = \frac{1}{4}$,$x = \frac{1}{4}$,
当$[x] = 1$时,$a = \frac{1}{2}$,$x = 1\frac{1}{2}$,
当$[x] = 2$时,$a = \frac{3}{4}$,$x = 2\frac{3}{4}$,
∴$x = -1$或$\frac{1}{4}$或$1\frac{1}{2}$或$2\frac{3}{4}$。
(2)解:如果$[x] = 3$。那么$x$的取值范围是$3 ≤ x < 4$。故答案为:$3 ≤ x < 4$。
(3)解:如果$[5x - 2] = 3x + 1$,那么$3x + 1 ≤ 5x - 2 < 3x + 2$。解得:$\frac{3}{2} ≤ x < 2$。
∵$3x + 1$是整数。
∴$x = \frac{5}{3}$。故答案为:$\frac{5}{3}$。
(4)解:
∵$x = [x] + a$,其中$0 ≤ a < 1$。
∴$[x] = x - a$,
∵$4a = [x] + 1$,
∴$a = \frac{[x] + 1}{4}$
∵$0 ≤ a < 1$,
∴$0 ≤ \frac{[x] + 1}{4} < 1$,
∴$-1 ≤ [x] < 3$,
∴$[x] = -1$,0,1,2。
当$[x] = -1$时,$a = 0$,$x = -1$,
当$[x] = 0$时,$a = \frac{1}{4}$,$x = \frac{1}{4}$,
当$[x] = 1$时,$a = \frac{1}{2}$,$x = 1\frac{1}{2}$,
当$[x] = 2$时,$a = \frac{3}{4}$,$x = 2\frac{3}{4}$,
∴$x = -1$或$\frac{1}{4}$或$1\frac{1}{2}$或$2\frac{3}{4}$。
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