2026年预学与导学八年级数学下册浙教版第57页答案

1. 如图，矩形 $ABCD$ 的边 $AB$ 上有一动点 $E$，连结 $DE$，$CE$，以 $DE$，$CE$ 为边作平行四边形 $CEDF$，点 $E$ 从点 $A$ 移动到点 $B$ 的过程中，平行四边形 $CEDF$ 的面积(

)。

A.先变大后变小
B.先变小后变大
C.一直不变
D.一直变大

答案

1. C

2. 如图，在矩形 $ABCD$ 中，$AB = 15$，$AD = 20$，$P$ 是 $AD$ 上的动点，$PE⊥ AC$ 于点 $E$，$PF⊥ BD$ 于点 $F$，则 $PE + PF$ 的值为

。

答案

2. 12

3. 如图，在矩形 $ABCD$ 中，$CE⊥ BD$ 于点 $E$，$AF$ 平分 $∠ BAD$，交 $EC$ 的延长线于点 $F$。求证：$BD = CF$。

答案

在矩形$ABCD$中，$AC=BD$，$∠ CAD=∠ BDA$（矩形对角线相等且互相平分，$OA=OD$，底角相等），$∠ BAD=90°$。

因为$CE⊥ BD$，所以$∠ ECB+∠ EBC=90°$，又$AD// BC$，$∠ BDA=∠ EBC$，故$∠ ECB+∠ CAD=90°$，即$∠ ECB=90°-∠ CAD$。

因为$AF$平分$∠ BAD$，所以$∠ DAF=45°$，则$∠ CAF=45°-∠ CAD$。

由$∠ ECB=90°-∠ CAD$，可得$∠ CFA=∠ ECB-45°=45°-∠ CAD$。

所以$∠ CAF=∠ CFA$，故$CF=CA$。

又因为$AC=BD$，所以$BD=CF$。

4. 在矩形 $ABCD$ 中，$AB = CD = 10$，$BC = AD = 6$，$P$ 为射线 $BC$ 上一点，将 $△ ABP$ 沿直线 $AP$ 翻折至 $△ AEP$ 的位置，使点 $B$ 落在点 $E$ 处。

(1) $P$ 为边 $BC$ 上的一点。
① 如图甲，当点 $E$ 落在边 $CD$ 上时，$CE=$

。
② 如图乙，连结 $CE$，当 $CE// AP$ 时，求 $CE$ 的长。
(2) 点 $P$ 在 $BC$ 的延长线上，当 $△ PEC$ 为直角三角形时，求 $PB$ 的长。

答案

4. (1) ①2
② 设$PB=PE=x$，则$PC=6-x$，

由折叠知$∠ EAP=∠ BAP$，$AE=AB=10$，$∠ AEP=∠ B=90°$，

$\because CE// AP$，$\therefore ∠ CEP=∠ EAP$，$∠ ECP=∠ APB$，

$\therefore ∠ CEP+∠ ECP=∠ BAP+∠ APB=90°$，即$∠ EPC=90°$。

解得$PB=3$，$AP=\sqrt{AB^2+PB^2}=\sqrt{10^2+3^2}=\sqrt{109}$，

求得$E$点坐标为$(\frac{910}{109},\frac{600}{109})$，

则$CE=\sqrt{(10-\frac{910}{109})^2+(6-\frac{600}{109})^2}=\frac{18\sqrt{109}}{109}$。

(2) 设$PB=x$，则$PC=x-6$，$PE=PB=x$，$AE=AB=10$，$∠ AEP=90°$，

分三种情况讨论$△ PEC$为直角三角形：

① $∠ PEC=90°$：解得$x=\frac{135-20\sqrt{34}}{6}$（舍去，不符合$x＞6$）；

② $∠ PCE=90°$：解得$x=\frac{10}{3}$或$30$（均舍去）；

③ $∠ EPC=90°$：此时$PE⊥ PC$，$PB=10$，验证符合条件。

综上，$PB=10$。