21. (本小题 10 分)已知 AB 为⊙O 的直径,AB= 6,C 为⊙O 上一点,连接 CA,CB.
(1) 如图①,若 C 为$\widehat{AB}$的中点,求∠CAB 的大小和 AC 的长;
(2) 如图②,若 AC= 2,OD 为⊙O 的半径,且 OD⊥CB,垂足为 E,过点 D 作⊙O 的切线,与 AC 的延长线相交于点 F,求 FD 的长.

(1)∠CAB=45°，AC=3√2；(2)FD=2√2。

(1)∵AB为⊙O直径，∴∠ACB=90°。
∵C为$\widehat{AB}$中点，∴$\widehat{AC}=\widehat{BC}$，∴AC=BC。
∴△ACB为等腰直角三角形，∠CAB=45°。
在Rt△ACB中，AB=6，AC²+BC²=AB²，又AC=BC，
∴2AC²=36，AC²=18，AC=3√2。
(2)∵AB为直径，∴∠ACB=90°。AB=6，AC=2，
由勾股定理得BC=√(AB²-AC²)=√(36-4)=4√2。
∵OD⊥CB，∴E为CB中点，CE=EB=2√2。
在Rt△OEB中，OB=3，EB=2√2，OE=√(OB²-EB²)=√(9-8)=1，ED=OD-OE=3-1=2。
∵FD为切线，∴OD⊥FD，∠ODF=90°。
∵AC//OD（∠ACB=∠OEB=90°，同位角相等），
∴△FOD∽△FAC，或由切割线定理：FD²=FC·FA。
设F为AC延长线与FD交点，坐标法求得F(-5/3,8√2/3)，D(1,2√2)，
FD=√[(1+5/3)²+(2√2-8√2/3)²]=√[(8/3)²+(-2√2/3)²]=√(64/9+8/9)=√8=2√2。

22. (本小题 10 分)如图,⊙O 的半径为 5,B,C 是⊙O 上两定点,A 是⊙O 上一动点,且∠BAC= 60°,∠BAC 的平分线交⊙O 于点 D.
(1) 求证:D 为$\widehat{BC}$上一定点.
(2) 过点 D 作 BC 的平行线交 AB 的延长线于点 F.
① 判断 DF 与⊙O 的位置关系,并说明理由;
② 若△ABC 为锐角三角形,直接写出线段 DF 长的取值范围.

(1)连接OB,OC,OD.
∵∠BAC=60°，AD平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD=30°.
由圆周角定理，∠BAD=1/2弧BD,∠CAD=1/2弧CD,
∴弧BD=2∠BAD=60°，弧CD=2∠CAD=60°,
∴弧BD=弧CD=60°，故D为弧BC上定点.
(2)①DF与⊙O相切.
理由：连接OD.
∵D为弧BC中点，∴OD⊥BC(垂径定理).
∵DF//BC,∴OD⊥DF.
∵OD为半径，∴DF与⊙O相切.
②5√3/2 ＜ DF ＜ 5√3.