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4. 如图,△ABC 为等边三角形,点 D,E 分别在边 BC,AB 上,∠ADE= 60°.若 BD= 4DC,DE= 2.4,求 AD 的长.
答案
AD=12
解析
设DC=x，则BD=4x，∵△ABC为等边三角形，∴AB=BC=AC=BD+DC=5x，∠B=∠C=60°．
∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=60°+∠EDC，且∠ADC=∠B+∠BAD=60°+∠BAD（三角形外角性质），∴∠EDC=∠BAD．
在△ABD和△DCE中，∠B=∠C=60°，∠BAD=∠EDC，∴△ABD∽△DCE（两角对应相等的两个三角形相似）．
∴AB/DC=AD/DE（相似三角形对应边成比例）．
∵AB=5x，DC=x，DE=2.4，∴5x/x=AD/2.4，解得AD=12．
∵∠ADC=∠ADE+∠EDC=60°+∠EDC，且∠ADC=∠B+∠BAD=60°+∠BAD（三角形外角性质），∴∠EDC=∠BAD．
在△ABD和△DCE中，∠B=∠C=60°，∠BAD=∠EDC，∴△ABD∽△DCE（两角对应相等的两个三角形相似）．
∴AB/DC=AD/DE（相似三角形对应边成比例）．
∵AB=5x，DC=x，DE=2.4，∴5x/x=AD/2.4，解得AD=12．
5. 如图,在△ABC 中,CD⊥AB 于点 D,BE⊥AC 于点 E.
(1) 求证:△ABE∽△ACD;
(2) 若 AD= 3,BC= 6,AC= 5,求 DE 的长.
(1) 求证:△ABE∽△ACD;
(2) 若 AD= 3,BC= 6,AC= 5,求 DE 的长.
答案
(1)见解析；(2)18/5
解析
(1)证明：∵CD⊥AB，BE⊥AC，∴∠AEB=∠ADC=90°。又∵∠A=∠A，∴△ABE∽△ACD。
(2)在Rt△ACD中，AD=3，AC=5，∴CD=√(AC²-AD²)=√(5²-3²)=4。由(1)知△ABE∽△ACD，∴AE/AD=AB/AC，即AE·AC=AD·AB，∴AE/AB=AD/AC。在△ADE和△ACB中，∠A=∠A，AE/AB=AD/AC，∴△ADE∽△ACB。∴DE/BC=AD/AC，∴DE=BC·AD/AC=6×3/5=18/5。
(2)在Rt△ACD中，AD=3，AC=5，∴CD=√(AC²-AD²)=√(5²-3²)=4。由(1)知△ABE∽△ACD，∴AE/AD=AB/AC，即AE·AC=AD·AB，∴AE/AB=AD/AC。在△ADE和△ACB中，∠A=∠A，AE/AB=AD/AC，∴△ADE∽△ACB。∴DE/BC=AD/AC，∴DE=BC·AD/AC=6×3/5=18/5。
