7. 如图,AB 为$\odot O$的弦,半径 OC,OD 分别交 AB 于点 E,F.且$\widehat {AC}= \widehat {BD}$.
(1)求证:$OE= OF$;
(2)作半径$ON\perp AB$于点 M,若$AB= 8$,$MN= 2$,求 OM 的长.

(1)见证明过程；(2)3。

(1)证明：连接OA，OB。
∵OA，OB为⊙O半径，∴OA=OB，∠OAB=∠OBA。
∵$\widehat{AC}=\widehat{BD}$，∴∠AOC=∠BOD，即∠AOE=∠BOF。
在△OAE和△OBF中，
$\left\{\begin{array}{l}∠OAE=∠OBF\\OA=OB\\∠AOE=∠BOF\end{array}\right.$，
∴△OAE≌△OBF(ASA)，∴OE=OF。
(2)解：∵ON⊥AB于M，AB=8，
∴由垂径定理得AM=BM=4，设OM=x。
∵ON为半径，设⊙O半径为R，则在Rt△OAM中，$R^2=x^2+4^2=x^2+16$。
∵MN=2，ON=R，
若M在O，N之间，则ON=OM+MN，即R=x+2，
∴$(x+2)^2=x^2+16$，解得x=3。
若N在O，M之间，则ON=OM-MN，即R=x-2，
$(x-2)^2=x^2+16$，解得x=-3(舍)。
∴OM=3。

拓展提升
如图,AB 为$\odot O$的直径,C 是圆上一点,D 是$\widehat {BC}$的中点,弦$DE\perp AB$,垂足为 F.
(1)求证:$BC= 2DF$;
(2)若$AC= 6$,$BF= 2$,则 BC 的长为.

(1)证明：连接OD，OE。
∵D是$\widehat{BC}$中点，∴$\widehat{BD}=\widehat{DC}$，设$\widehat{BD}=\widehat{DC}=x$，则$\widehat{BC}=2x$。
∵AB为直径，$DE\perp AB$，∴AB垂直平分DE（垂径定理），∴$\widehat{BD}=\widehat{BE}=x$，故$\widehat{DE}=\widehat{BD}+\widehat{BE}=2x$。
∴$\widehat{BC}=\widehat{DE}$，∴弦$BC=DE$（同圆中，等弧对等弦）。
又AB垂直平分DE，∴$DF=FE$，即$DE=2DF$，∴$BC=2DF$。
(2)设$\odot O$半径为$r$，$BC=a$，则$DE=BC=a$，$DF=\frac{a}{2}$。
∵$BF=2$，∴$OF=OB-BF=r-2$。
在$Rt\triangle DFO$中，$OD^2=OF^2+DF^2$，即$r^2=(r-2)^2+(\frac{a}{2})^2$，化简得$r=1+\frac{a^2}{16}$。
∵AB为直径，$\angle ACB=90°$，在$Rt\triangle ABC$中，$AC=6$，$AB=2r$，由勾股定理得$6^2+a^2=(2r)^2$。
将$r=1+\frac{a^2}{16}$代入，解得$a=8$（负值舍去）。
(1)证明见上；(2)8