1. 如图，一辆小车沿倾斜角为$\angle \alpha$的斜坡向上行驶13 m，已知$\cos \alpha = \frac{12}{13}$，则
小车上升的高度是().


A.5 m
B.6 m
C.6.5 m
D.12 m

1.A

设小车上升的高度为$h$，水平移动的距离为$x$。
在直角三角形中，$\cos\alpha=\frac{x}{13}=\frac{12}{13}$，则$x = 12\ m$。
由勾股定理得$h=\sqrt{13^{2}-12^{2}}=\sqrt{169 - 144}=\sqrt{25}=5\ m$。
A

2. 如图，在地面上的点$A$处测得树顶$B$的仰角为$\angle \alpha$，$AC = 7$ m，则树高$BC$
为().


A.$7 \sin \alpha$ m
B.$7 \cos \alpha$ m
C.$7 \tan \alpha$ m
D.$\frac{7}{\tan \alpha}$ m

2.C

在直角三角形 $ABC$ 中，$\angle ACB = 90°$，$AC = 7\ m$，$\angle BAC = \angle \alpha$。
$\tan \alpha=\frac{BC}{AC}$，
$BC = AC · \tan \alpha = 7\tan \alpha\ m$。
答案：C

3. 如图，某拦水坝的横断面为梯形$ABDE$，斜坡$AB$的水平宽度为12 m，斜
面坡度为$1:2$，则斜坡$AB$的长为().


A.$4 \sqrt{3}$ m
B.$6 \sqrt{5}$ m
C.$12 \sqrt{5}$ m
D.24 m

3.B

过点$A$作$AF\perp BD$于点$F$，则$AF$为斜坡$AB$的铅直高度，$BF$为水平宽度，$BF = 12\ m$。
斜坡$AB$的坡度为$1:2$，即$\frac{AF}{BF}=\frac{1}{2}$，
$\therefore AF=\frac{1}{2}BF=\frac{1}{2}×12 = 6\ m$。
在$ Rt\triangle AFB$中，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AF^{2}+BF^{2}}=\sqrt{6^{2}+12^{2}}=\sqrt{36 + 144}=\sqrt{180}=6\sqrt{5}\ m$。
答案：B

4. 如图，在一笔直的海岸线$l$上有$A$，$B$两个观测站，$AB = 2$ km，从观测站
$A$测得船$C$在北偏东$45°$的方向，从观测站$B$测得船$C$在北偏东$22.5°$的方向，
则船$C$离海岸线$l$的距离(即$CD$的长)为().


A.4 km
B.$(2 + \sqrt{2})$km
C.$2 \sqrt{2}$ km
D.$(4 - \sqrt{2})$km

4.B

过点$B$作$BE \perp AC$于点$E$。
由题意知，$\angle CAD = 45°$，$\angle CBD = 67.5°$，$AB = 2\ km$，设$CD = x\ km$。
在$ Rt\triangle ACD$中，$\angle CAD = 45°$，$\therefore AD = CD = x$，$AC = \sqrt{AD^2 + CD^2} = \sqrt{2}x$。
$\because \angle CAB = 45°$，$\angle ABC = 180° - 67.5° = 112.5°$，$\therefore \angle ACB = 180° - 45° - 112.5° = 22.5°$，$\therefore \angle ACB = \angle ABC - \angle CAB = 22.5°$，故$AB = BC = 2\ km$。
在$ Rt\triangle ABE$中，$\angle BAE = 45°$，$AB = 2\ km$，$\therefore AE = BE = AB · \sin 45° = 2 × \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}\ km$。
在$ Rt\triangle CBE$中，$\angle ACB = 22.5°$，$BC = 2\ km$，$\therefore CE = BC · \cos 22.5°$，$BE = BC · \sin 22.5° = \sqrt{2}\ km$。
$\because AC = AE + CE$，即$\sqrt{2}x = \sqrt{2} + 2 \cos 22.5°$。
又$\cos 22.5° = \sin 67.5° = \frac{CD}{BC} = \frac{x}{2}$（此处利用$\angle CBD = 67.5°$，在$ Rt\triangle BCD$中$\cos 67.5° = \frac{BD}{BC}$，$\sin 67.5° = \frac{CD}{BC} = \frac{x}{2}$，而$\cos 22.5° = \sin 67.5°$），$\therefore \sqrt{2}x = \sqrt{2} + 2 × \frac{x}{2}$，解得$x = 2 + \sqrt{2}$。
$\therefore$船$C$离海岸线$l$的距离为$(2 + \sqrt{2})\ km$。
答案：B