25. (12分)如图1，在平面直角坐标系中，抛物线$y=\frac{1}{4}x^{2}+c$经过点$A(4,3)$，顶点为点$B$，点$P$为抛物线上的一个动点，$l$是过点$(0,-2)$且垂直于$y$轴的直线，连接$PO$。
(1)求抛物线的表达式，并求出顶点$B$的坐标。
(2)求证：经过点$O$的$\odot P$与直线$l$相切。
(3)如图2，已知点$C$的坐标为$(1,2)$，是否存在点$P$，使得以点$P$，$O$及(2)中的切点为顶点的三角形与$\triangle ABC$相似？若存在，求出点$P$的坐标；若不存在，请说明理由。

(1)$y=\frac{1}{4}x^2 -1$，$B(0,-1)$；(2)见解析；(3)存在，$P(1,-\frac{3}{4})$或$(-1,-\frac{3}{4})$。

25. (1) 将点$A(4,3)$代入$y=\frac{1}{4}x^2 + c$，得$3=\frac{1}{4}×4^2 + c$，解得$c=-1$。
抛物线表达式为$y=\frac{1}{4}x^2 -1$，顶点$B(0,-1)$。
(2) 设$P(x,y)$，则$y=\frac{1}{4}x^2 -1$。直线$l:y=-2$，$\odot P$半径$r=PO=\sqrt{x^2 + y^2}$。
点$P$到$l$的距离$d=|y - (-2)|=y + 2=\frac{1}{4}x^2 +1$。
计算$PO^2=x^2 + y^2=x^2 + (\frac{1}{4}x^2 -1)^2=\frac{1}{16}x^4 + \frac{1}{2}x^2 +1$，$d^2=(\frac{1}{4}x^2 +1)^2=\frac{1}{16}x^4 + \frac{1}{2}x^2 +1$。
$\therefore PO=d$，故$\odot P$与$l$相切。
(3) 存在。
$\triangle ABC$中，$A(4,3)$，$B(0,-1)$，$C(1,2)$，$AC=BC=\sqrt{10}$，$AB=4\sqrt{2}$，为等腰三角形。
切点$Q(x,-2)$，$\triangle POQ$中$PO=PQ$，$OQ=\sqrt{x^2 +4}$，$PO=\frac{1}{4}x^2 +1$。
$\triangle POQ \sim \triangle CAB$时，$\frac{PO}{AC}=\frac{OQ}{AB}$，即$\frac{\frac{1}{4}x^2 +1}{\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{x^2 +4}}{4\sqrt{2}}$。
解得$x^2=1$，$x=\pm1$，$y=-\frac{3}{4}$。
$\therefore P(1,-\frac{3}{4})$或$(-1,-\frac{3}{4})$。