20. (6 分)如图 1,点 $A$ 的坐标为 $(3,0)$,把点 $A$ 先向左平移 $2$ 个单位长度,再向上平移 $3$ 个单位长度,可以平移到点 $D$ 的位置.
(1)①请直接写出点 $D$ 的坐标为(,);
②若反比例函数 $y=\frac{k}{x}\ (x＞0)$ 的图象与线段 $AD$ 有且只有一个交点时,请确定 $k$ 的取值范围并说明理由.
(2)如图 2,当 $k = 12$ 时,以 $AD$ 为一边的平行四边形 $ABCD$ 的另外两个顶点 $B$ 与 $C$ 均在反比例函数 $y=\frac{k}{x}\ (x＞0)$ 的图象上. 请求出 $\triangle ABC$ 的面积.

(1)①1,3；②$0 ＜ k ＜ 3$或$k=\frac{27}{8}$；(2)$\frac{9}{2}$

20. (1)①1,3
②设直线AD的解析式为y=mx+b，将A(3,0)，D(1,3)代入得：
$\begin{cases}3m + b = 0 \\m + b = 3\end{cases}$
解得$m=-\frac{3}{2}$，$b=\frac{9}{2}$，∴直线AD：$y=-\frac{3}{2}x + \frac{9}{2}$。
联立$y=\frac{k}{x}$与$y=-\frac{3}{2}x + \frac{9}{2}$，得$3x^2 - 9x + 2k = 0$（$x\in[1,3]$）。
函数$f(x)=-\frac{3}{2}x^2 + \frac{9}{2}x$在$[1,3]$上最大值为$\frac{27}{8}$（$x=\frac{3}{2}$时），$f(1)=3$，$f(3)=0$。
当$0 ＜ k ＜ 3$时，方程在$[1,3]$上有一解；当$k=\frac{27}{8}$时，方程有一解（相切）。
∴$k$的取值范围是$0 ＜ k ＜ 3$或$k=\frac{27}{8}$。
(2)设$B(x_1,\frac{12}{x_1})$，$C(x_2,\frac{12}{x_2})$，由平行四边形性质得$x_2 = x_1 - 2$，$\frac{12}{x_2} = \frac{12}{x_1} + 3$。
解得$x_1=4$，∴$B(4,3)$，$C(2,6)$。
$\triangle ABC$面积：$\frac{1}{2}|3×(3-6) + 4×(6-0) + 2×(0-3)| = \frac{1}{2}×9 = \frac{9}{2}$。