18. (8 分)如图,四边形 $ABCD$是$\odot O$的内接四边形,连接 $AC$,$BD$,延长 $CD$至点 $E$.
(1) 若$AB = AC$,求证:$\angle ADB=\angle ADE$.
(2) 若$BC = 3$,$\odot O$的半径为 $2$,求$\sin\angle BAC$的值.

(2)$\frac{3}{4}$

(1)证明：
∵四边形$ABCD$是$\odot O$内接四边形，
∴$\angle ADE=\angle ABC$（圆内接四边形外角等于内对角）。
∵$AB=AC$，
∴$\angle ABC=\angle ACB$。
∵$\angle ADB$与$\angle ACB$都是$\overset{\frown}{AB}$所对圆周角，
∴$\angle ADB=\angle ACB$。
∴$\angle ADB=\angle ADE$。
(2)解：
连接$OB$，$OC$，过点$O$作$OH\perp BC$于点$H$。
∵$OH\perp BC$，$BC=3$，
∴$BH=\frac{1}{2}BC=\frac{3}{2}$。
∵$\odot O$半径为$2$，
∴$OB=2$。
在$Rt\triangle OBH$中，$\sin\angle BOH=\frac{BH}{OB}=\frac{\frac{3}{2}}{2}=\frac{3}{4}$。
∵$\angle BAC$是$\overset{\frown}{BC}$所对圆周角，$\angle BOC$是$\overset{\frown}{BC}$所对圆心角，
∴$\angle BAC=\frac{1}{2}\angle BOC$。
又∵$OH\perp BC$，
∴$\angle BOH=\frac{1}{2}\angle BOC$。
∴$\angle BAC=\angle BOH$。
∴$\sin\angle BAC=\sin\angle BOH=\frac{3}{4}$。

19. (8 分)如图,四边形 $ABCD$内接于圆 $O$,$AB$是直径,点 $C$是$\overset{\frown}{BD}$的中点,延长 $AD$交 $BC$的延长线于点 $E$.
(1) 求证:$CE = CD$.
(2) 若$AB = 3$,$BC = \sqrt{3}$,求 $AD$的长.

(2) AD=1

(1) 证明：
∵AB是直径，∴∠ACB=90°，即AC⊥BE．
∵点C是$\overset{\frown}{BD}$中点，∴$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{CD}$，∴∠BAC=∠CAD．
在△ABC和△AEC中，
$\begin{cases} ∠BAC=∠EAC \\ AC=AC \\ ∠ACB=∠ACE=90° \end{cases}$，
∴△ABC≌△AEC(ASA)，∴∠ABC=∠E．
∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠CDE=∠ABC（外角等于内对角），
∴∠CDE=∠E，∴CE=CD．
(2) 解：
由(1)知AE=AB=3，CE=BC=$\sqrt{3}$，EB=BC+CE=$2\sqrt{3}$．
∵∠E=∠E，∠ECD=∠EAB（外角等于内对角），
∴△ECD∽△EAB，∴$\frac{EC}{EA}=\frac{ED}{EB}$．
即$\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{ED}{2\sqrt{3}}$，解得ED=2．
∴AD=AE-ED=3-2=1．