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11. 抛物线 $ y = 2x^{2}+2(k - 1)x - k $$ (k $ 为常数)与 $ x $ 轴交点的个数是
2
.答案
2
解析
对于抛物线 $ y = 2x^{2}+2(k - 1)x - k $，与 $ x $ 轴交点个数由判别式 $ \Delta $ 决定。
计算判别式：$\Delta = [2(k - 1)]^{2} - 4 × 2 × (-k)$
$= 4(k^{2} - 2k + 1) + 8k$
$= 4k^{2} - 8k + 4 + 8k$
$= 4k^{2} + 4$
因为 $ 4k^{2} \geq 0 $，所以 $ 4k^{2} + 4 ＞ 0 $，即 $ \Delta ＞ 0 $。
故抛物线与 $ x $ 轴有 2 个交点。
计算判别式：$\Delta = [2(k - 1)]^{2} - 4 × 2 × (-k)$
$= 4(k^{2} - 2k + 1) + 8k$
$= 4k^{2} - 8k + 4 + 8k$
$= 4k^{2} + 4$
因为 $ 4k^{2} \geq 0 $，所以 $ 4k^{2} + 4 ＞ 0 $，即 $ \Delta ＞ 0 $。
故抛物线与 $ x $ 轴有 2 个交点。
12. 如图，在 $ \triangle ABC $ 中，$ \angle ACB = 90^{\circ} $，点 $ D $ 为 $ AB $ 边的中点，连接 $ CD $.若 $ BC = 4 $，$ CD = 3 $，则 $ \sin \angle DCA $ 的值为
$\frac{2}{3}$
.答案
$\frac{2}{3}$
解析
在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB=90^{\circ}$，$D$为$AB$中点，$\therefore CD=\frac{1}{2}AB$（直角三角形斜边上的中线等于斜边一半）。
$\because CD=3$，$\therefore AB=6$。
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}=\sqrt{6^{2}-4^{2}}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。
过$D$作$DE\perp AC$于$E$，$\because D$为$AB$中点，$DE// BC$（均垂直于$AC$），$\therefore DE$为$\triangle ABC$中位线，$\therefore DE=\frac{1}{2}BC=2$。
在$Rt\triangle DEC$中，$\sin\angle DCA=\frac{DE}{CD}=\frac{2}{3}$。
$\because CD=3$，$\therefore AB=6$。
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AB^{2}-BC^{2}}=\sqrt{6^{2}-4^{2}}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$。
过$D$作$DE\perp AC$于$E$，$\because D$为$AB$中点，$DE// BC$（均垂直于$AC$），$\therefore DE$为$\triangle ABC$中位线，$\therefore DE=\frac{1}{2}BC=2$。
在$Rt\triangle DEC$中，$\sin\angle DCA=\frac{DE}{CD}=\frac{2}{3}$。
13. 如图，某一时刻太阳光从窗户照射进房间内，与地面的夹角 $ \angle DPC = 30^{\circ} $.已知窗户的高度 $ AF = 2 $ m，窗台的高度 $ CF = 1 $ m，窗外遮阳篷的宽度 $ AD = 0.8 $ m，则 $ CP $ 的长度为______.（结果精确到 0.1 m）
4.4
答案
【解析】：
作$BE\perp CP$于点$E$，在$Rt\triangle DPC$中，$\angle DPC = 30^{\circ}$，$AD = 0.8m$，则$BE = AD = 0.8m$。
在$Rt\triangle BEP$中，$\tan\angle BPE=\frac{BE}{PE}$，$\angle BPE = 30^{\circ}$，$BE = 0.8m$，所以$PE=\frac{BE}{\tan30^{\circ}}=\frac{0.8}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=\frac{2.4}{\sqrt{3}}m$。
$CE=CF + AF=1 + 2 = 3m$。
$CP=CE + PE=3+\frac{2.4}{\sqrt{3}}\approx3 + 1.386\approx4.4m$（$\sqrt{3}\approx1.732$）。
【答案】：4.4
作$BE\perp CP$于点$E$，在$Rt\triangle DPC$中，$\angle DPC = 30^{\circ}$，$AD = 0.8m$，则$BE = AD = 0.8m$。
在$Rt\triangle BEP$中，$\tan\angle BPE=\frac{BE}{PE}$，$\angle BPE = 30^{\circ}$，$BE = 0.8m$，所以$PE=\frac{BE}{\tan30^{\circ}}=\frac{0.8}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=\frac{2.4}{\sqrt{3}}m$。
$CE=CF + AF=1 + 2 = 3m$。
$CP=CE + PE=3+\frac{2.4}{\sqrt{3}}\approx3 + 1.386\approx4.4m$（$\sqrt{3}\approx1.732$）。
【答案】：4.4
14. 抛物线 $ y = ax^{2}+bx + c(a \neq 0) $ 的部分图象如图所示，其与 $ x $ 轴的一个交点坐标为 $ (-3,0) $，对称轴为直线 $ x = -1 $.当 $ y ＜ 0 $ 时，$ x $ 的取值范围是
-3＜x＜1
.答案
-3＜x＜1
解析
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为(-3,0)，对称轴为直线x=-1，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(1,0)。由图象可知，抛物线开口向上，∴当y＜0时，x的取值范围是-3＜x＜1。
15. 如图，甲、乙两座建筑物，从甲建筑物 $ A $ 点处测得乙建筑物 $ D $ 点的俯角 $ \alpha $ 为 $ 45^{\circ} $，$ C $ 点的俯角 $ \beta $ 为 $ 58^{\circ} $，$ BC $ 为两座建筑物的水平距离.已知乙建筑物的高度 $ CD $ 为 6 m，则甲建筑物的高度 $ AB $ 为
16
m.（结果保留整数. 参考数据：$ \sin 58^{\circ} \approx 0.85 $，$ \cos 58^{\circ} \approx 0.53 $，$ \tan 58^{\circ} \approx 1.60 $）答案
16
解析
设BC=x米，过A作水平线AF，交CD延长线于E，则AE=BC=x，EC=AB，ED=EC-CD=AB-6。
在Rt△AED中，∠FAD=45°，tan45°=ED/AE=1，故ED=AE，即AB-6=x ①。
在Rt△AEC中，∠FAC=58°，tan58°=EC/AE≈1.60，即AB/x≈1.60 ②。
联立①②：AB=1.60x，代入①得1.60x - 6=x，解得x=10，AB=1.60×10=16。
在Rt△AED中，∠FAD=45°，tan45°=ED/AE=1，故ED=AE，即AB-6=x ①。
在Rt△AEC中，∠FAC=58°，tan58°=EC/AE≈1.60，即AB/x≈1.60 ②。
联立①②：AB=1.60x，代入①得1.60x - 6=x，解得x=10，AB=1.60×10=16。
