【例题】如图,DE//BC交AB于D,交AC于E,若AD:DB= 2:3,BC= 15,求DE的长.

【思路点拨】由DE//BC,可推出△ADE∽△ABC,进而推出$\frac{AD}{AB}= \frac{DE}{BC}$.又$\frac{AD}{DB}= \frac{2}{3}$,可推出$\frac{AD}{AB}= \frac{2}{5}$,这时$\frac{DE}{BC}= \frac{2}{5}$,故DE可求.
【解答】

$\because DE// BC$，
$\therefore \triangle ADE\sim\triangle ABC$。
$\therefore \frac{AD}{AB}=\frac{DE}{BC}$。
$\because \frac{AD}{DB}=\frac{2}{3}$，
$\therefore \frac{AD}{AB}=\frac{2}{2 + 3}=\frac{2}{5}$。
$\because BC = 15$，
$\therefore \frac{DE}{15}=\frac{2}{5}$，
$\therefore DE = 6$。
综上，$DE$的长为$6$。

1. 若△ABC∽△A'B'C',∠A= 45°,∠B= 100°,则∠C'等于()
A.45°
B.100°
C.55°
D.35°

D

由于△ABC∽△A'B'C'，根据相似三角形的性质，对应角相等。
已知∠A= 45°，∠B= 100°，根据三角形内角和为180°，可以求出∠C = 180° - 45° - 100° = 35°。
由于△ABC∽△A'B'C'，所以∠C' = ∠C = 35°。

2. 如图,在梯形ABCD中,AD//BC,且AC,BD相交于点O,过O作EF//AD分别交AB,CD于E,F,则图中共有相似三角形的对数为()

A.5
B.4
C.3
D.2

1. ∵AD//BC，∴∠OAD=∠OCB，∠ODA=∠OBC，∴△AOD∽△COB（AA）。
2. ∵EF//BC，∴∠AEO=∠ABC，∠AOE=∠ACB，∴△AEO∽△ABC（AA）。
3. ∵EF//AD，∴∠BEO=∠BAD，∠BOE=∠BDA，∴△BEO∽△BAD（AA）。
4. ∵EF//BC，∴∠DFO=∠DCB，∠DOF=∠DBC，∴△DFO∽△DCB（AA）。
5. ∵EF//AD，∴∠CFO=∠CDA，∠FCO=∠DCA，∴△CFO∽△CDA（AA）。
共有5对相似三角形。
A

3. 如图①,已知AB//CD,AD与BC相交于P,AB= 4,CD= 7,AD= 10,则AP的长等于()

A.$\frac{40}{11}$
B.$\frac{40}{7}$
C.$\frac{70}{11}$
D.$\frac{70}{4}$

A

因为$AB// CD$，所以$\angle DCP=\angle BAP$，$\angle CDP=\angle ABP$（两直线平行，内错角相等）。
在$\triangle ABP$和$\triangle DCP$中，$\angle DCP=\angle BAP$，$\angle CDP=\angle ABP$，所以$\triangle ABP\sim\triangle DCP$（两角对应相等，两三角形相似）。
根据相似三角形对应边成比例，可得$\frac{AP}{DP}=\frac{AB}{DC}$。
已知$AB = 4$，$CD = 7$，设$AP=x$，则$DP = 10 - x$，代入$\frac{AP}{DP}=\frac{AB}{DC}$可得$\frac{x}{10 - x}=\frac{4}{7}$。
交叉相乘得$7x=4(10 - x)$，即$7x = 40-4x$。
移项得$7x + 4x=40$，$11x = 40$，解得$x=\frac{40}{11}$，即$AP=\frac{40}{11}$。

4. 如图②,在正方形的网格上有6个斜三角形:①△ABC;②△BCD;③△BDE;④△BFG;⑤△FGH;⑥△EFK.其中②~⑥中,与三角形①相似的是()

A.②③④
B.③④⑤
C.④⑤⑥
D.②③⑥

设网格中小正方形的边长为 1。
$(\frac{AB}{FG})^2 = (\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}})^2 = 1$，
$(\frac{BC}{GH})^2 = (\frac{\sqrt{10}}{2\sqrt{10}})^2 = \frac{1}{4}$，
$(\frac{AC}{FH})^2 = (\frac{5\sqrt{2}}{2\sqrt{2}})^2 =\frac{25}{4}$，
$\frac{AB^2 + BC^2}{AC^2} = \frac{(\sqrt{5})^2 + (\sqrt{10})^2}{(5\sqrt{2})^2} = \frac{5 + 10}{50} =\frac{15}{50} =\frac{3}{10}$，
$\frac{FG^2 + GH^2}{FH^2} = \frac{(\sqrt{5})^2 + (2\sqrt{10})^2}{(2\sqrt{2})^2} = \frac{5 + 40}{8} =\frac{45}{8} \neq \frac{3}{10}$，
所以①与⑤不相似。
通过计算可得：
$\frac{AB}{BF} = \frac{AG}{BG} = \frac{BG}{FG} = 1$，
所以①与④相似。
$\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{BD} = \frac{AC}{BE} = \sqrt{2}$，
所以①与③相似。
$\frac{AB}{BDE} = \frac{BC}{DE} = \frac{AC}{BE} = \frac{\sqrt{5}}{2} \neq \sqrt{2}$，
所以①与②不相似。
$\frac{AB}{EF} = \frac{AG}{FK} = \frac{BG}{EK} = \frac{\sqrt{5}}{3} \neq 1$，
所以①与⑥不相似。
综上，本题选：$B$。