4. △ABC中,∠A= 47°,AB= 1.5 cm,AC= 2 cm;△DEF中,∠E= 47°,ED= 2.8 cm,EF= 2.1 cm,则△∽△.

ABC ∽ EFD

1. 首先，我们需要找出两个三角形中相等的角。
在△ABC中，∠A = 47°。
在△DEF中，∠E = 47°。
因此，∠A = ∠E。
2. 接下来，我们需要检查两个三角形中相应边的比例是否相等。
AB = 1.5 cm，ED = 2.8 cm。
AC = 2 cm，EF = 2.1 cm。
计算比例：AB/ED = 1.5/2.8 = 3/5.6 = 3/2×1/2.8 = 3/2×5/14 = 15/28 = 3/5.6。
AC/EF = 2/2.1 = 20/21。
我们尝试其他对应边：AB/EF = 1.5/2.1 = 15/21 = 5/7。
AC/ED = 2/2.8 = 20/28 = 5/7。
3. 由此可得，AB/EF = AC/ED = 5/7，且∠A = ∠E。
4. 根据相似三角形的判定定理，两个三角形如果有两组对应边的比例相等，并且夹角相等，则这两个三角形相似。
因此，△ABC ∽ △EFD。

5. 如图,在△ABC中,D,E分别在AC,AB上,且AD:AB= AE:AC= 1:3,BC= 10,则DE= .

$\because AD:AB = AE:AC = 1:3$，$\angle A=\angle A$，
$\therefore \triangle ADE\sim\triangle ABC$，
$\therefore \frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}=\frac{1}{3}$，
$\because BC = 10$，
$\therefore DE=\frac{10}{3}$。
故答案为：$\frac{10}{3}$。

6. 如图,等腰三角形ABC中,AB= AC,D为CB延长线上一点,E为BC延长线上一点,满足$AB^2= DB\cdot CE$.
(1)求证:△ADB∽△EAC;
(2)若∠BAC= 40°,求∠DAE的度数.

(1)见证明过程；(2)110°

(1)证明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠ABD=180°-∠ABC，∠ACE=180°-∠ACB，∴∠ABD=∠ACE。
∵AB²=DB·CE，AB=AC，∴$\frac{DB}{AB}=\frac{AB}{CE}=\frac{AC}{CE}$。
在△ADB和△EAC中，$\frac{DB}{AC}=\frac{AB}{CE}$，∠ABD=∠ACE，∴△ADB∽△EAC。
(2)∵AB=AC，∠BAC=40°，∴∠ABC=∠ACB=$\frac{180°-40°}{2}=70°$，∴∠ABD=∠ACE=180°-70°=110°。
∵△ADB∽△EAC，∴∠DAB=∠E，∠ADB=∠EAC。
在△ADB中，∠D+∠DAB+∠ABD=180°，∴∠D+∠DAB=180°-110°=70°，即∠EAC+∠E=70°。
∠DAE=∠DAB+∠BAC+∠EAC=∠E+∠BAC+∠D=70°+40°=110°。

7. 如图,已知△ABC,△DCE,△FEG是三个全等的等腰三角形,底边BC,CE,EG在同一直线上,且$AB= \sqrt{3}$,BC= 1,连接BF,分别交AC,DC,DE于P,Q,R.求证:△BFG∽△FEG,并求出BF的长.

证明：∵△ABC、△DCE、△FEG是三个全等的等腰三角形，
∴BC=CE=EG=1，FG=FE=√3。
∵BC、CE、EG在同一直线上，
∴BG=BC+CE+EG=1+1+1=3。
在△BFG和△FEG中，
BG/FG=3/√3=√3，FG/EG=√3/1=√3，
∴BG/FG=FG/EG。
又∵∠G=∠G（公共角），
∴△BFG∽△FEG（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
∵△BFG∽△FEG，
∴BF/FE=BG/FG。
∵FE=√3，BG=3，FG=√3，
∴BF=FE·BG/FG=√3×3/√3=3。
BF的长为3。