20. (6分)已知反比例函数$y= \frac {k-1}{x}$(k为常数,$k≠1$).
(1)若点$A(1,2)$在这个函数的图象上,求k的值;
(2)若在这个函数图象的每一分支上,y随x的增大而增大,求k的取值范围.

(1) $k = 3$；
(2) $k ＜ 1$。

(1) 把点$A(1,2)$代入$y = \frac{k-1}{x}$，得到$2 = \frac{k-1}{1}$，解得$k = 3$；
(2) 由于在函数图象的每一分支上，$y$随$x$的增大而增大，因此$k - 1 ＜ 0$，解得$k ＜ 1$。

21. (8分)已知关于x的方程$x^{2}+ax+a-2= 0.$
(1)当该方程的一个根为1时,求a的值及该方程的另一个根;
(2)求证:不论实数a取何值,该方程都有两个不相等的实数根.

(1)
解：设方程的另一根为$x_1$。
根据题意，当$x=1$时，代入方程$x^2 + ax + a - 2 = 0$，
得：$1^2 + a × 1 + a - 2 = 0$，
即：$1 + a + a - 2 = 0$，
整理得：$2a - 1 = 0$，
解得：$a = \frac{1}{2}$。
将$a = \frac{1}{2}$代入原方程，得：
$x^2 + \frac{1}{2}x - \frac{3}{2} = 0$，
即：$2x^2 + x - 3 = 0$，
因式分解得：$(2x + 3)(x - 1) = 0$，
解得：$x_1 = -\frac{3}{2}$，$x_2 = 1$（已知）。
所以，$a$的值为$\frac{1}{2}$，方程的另一根为$-\frac{3}{2}$。
(2)
证明：对于方程$x^2 + ax + a - 2 = 0$，
其判别式为：$\Delta = a^2 - 4(a - 2)$，
即：$\Delta = a^2 - 4a + 8$，
整理得：$\Delta = (a - 2)^2 + 4$。
由于$(a - 2)^2 \geq 0$，所以$(a - 2)^2 + 4 ＞ 0$。
因此，不论实数$a$取何值，判别式$\Delta$都大于0，所以该方程都有两个不相等的实数根。