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1. 下列坐标所表示的点在函数 $ y= x^{2}-4 $ 图象上的是(
A.(1,-4)
B.(2,0)
C.(0,4)
D.(4,4)
B
)A.(1,-4)
B.(2,0)
C.(0,4)
D.(4,4)
答案
B
解析
将各选项坐标代入函数$y = x^2 - 4$：
选项A：当$x=1$时，$y=1^2 - 4=1 - 4=-3\neq-4$，不在函数图象上。
选项B：当$x=2$时，$y=2^2 - 4=4 - 4=0$，在函数图象上。
选项C：当$x=0$时，$y=0^2 - 4=0 - 4=-4\neq4$，不在函数图象上。
选项D：当$x=4$时，$y=4^2 - 4=16 - 4=12\neq4$，不在函数图象上。
B
选项A：当$x=1$时，$y=1^2 - 4=1 - 4=-3\neq-4$，不在函数图象上。
选项B：当$x=2$时，$y=2^2 - 4=4 - 4=0$，在函数图象上。
选项C：当$x=0$时，$y=0^2 - 4=0 - 4=-4\neq4$，不在函数图象上。
选项D：当$x=4$时，$y=4^2 - 4=16 - 4=12\neq4$，不在函数图象上。
B
2. 抛物线 $ y= 2(x-3)^{2}+1 $ 的顶点坐标是(
A.(3,1)
B.(3,-1)
C.(-3,1)
D.(-3,-1)
A
)A.(3,1)
B.(3,-1)
C.(-3,1)
D.(-3,-1)
答案
A
解析
抛物线的顶点式为$y=a(x-h)^2+k$，其顶点坐标为$(h,k)$。
对于抛物线$y=2(x-3)^2+1$，其中$h=3$，$k=1$，所以顶点坐标是$(3,1)$。
A
对于抛物线$y=2(x-3)^2+1$，其中$h=3$，$k=1$，所以顶点坐标是$(3,1)$。
A
3. 下列二次函数中,图象以直线 $ x= 2 $ 为对称轴,且经过点(0,1)的是(
A.$ y= (x-2)^{2}+1 $
B.$ y= (x+2)^{2}+1 $
C.$ y= (x-2)^{2}-3 $
D.$ y= (x+2)^{2}-3 $
C
)A.$ y= (x-2)^{2}+1 $
B.$ y= (x+2)^{2}+1 $
C.$ y= (x-2)^{2}-3 $
D.$ y= (x+2)^{2}-3 $
答案
C
解析
对于二次函数的顶点式$y = a(x - h)^2 + k$，其对称轴为直线$x = h$。
选项A：$y=(x - 2)^2 + 1$，对称轴为直线$x = 2$。当$x = 0$时，$y=(0 - 2)^2 + 1=4 + 1=5\neq1$，不符合。
选项B：$y=(x + 2)^2 + 1$，对称轴为直线$x=-2\neq2$，不符合。
选项C：$y=(x - 2)^2 - 3$，对称轴为直线$x = 2$。当$x = 0$时，$y=(0 - 2)^2 - 3=4 - 3=1$，符合。
选项D：$y=(x + 2)^2 - 3$，对称轴为直线$x=-2\neq2$，不符合。
C
选项A：$y=(x - 2)^2 + 1$，对称轴为直线$x = 2$。当$x = 0$时，$y=(0 - 2)^2 + 1=4 + 1=5\neq1$，不符合。
选项B：$y=(x + 2)^2 + 1$，对称轴为直线$x=-2\neq2$，不符合。
选项C：$y=(x - 2)^2 - 3$，对称轴为直线$x = 2$。当$x = 0$时，$y=(0 - 2)^2 - 3=4 - 3=1$，符合。
选项D：$y=(x + 2)^2 - 3$，对称轴为直线$x=-2\neq2$，不符合。
C
4. 抛物线 $ y= -x^{2} $ 先向左平移2个单位,再向上平移1个单位,得到的抛物线的函数表达式为
$ y=-(x+2)^{2}+1 $
.答案
$ y=-(x+2)^{2}+1 $
解析
抛物线平移规律为“左加右减，上加下减”。原抛物线为 $ y = -x^2 $，向左平移2个单位，得 $ y = -(x + 2)^2 $；再向上平移1个单位，得 $ y = -(x + 2)^2 + 1 $。
5. 如果抛物线 $ y= 2x^{2} $ 不动,把x轴向上平移2个单位,y轴向右平移2个单位,那么在新坐标系下的抛物线的函数表达式为
$ y = 2(x + 2)^2 - 2 $
.答案
$ y = 2(x + 2)^2 - 2 $
解析
在原坐标系中，抛物线方程为$y = 2x^2$。
把$x$轴向上平移2个单位，相当于将抛物线向下平移2个单位；把$y$轴向右平移2个单位，相当于将抛物线向左平移2个单位。
对于抛物线$y = 2x^2$，向左平移2个单位，根据“左加右减”原则，$x$变为$x + 2$，得到$y = 2(x + 2)^2$；再向下平移2个单位，根据“上加下减”原则，整体减2，得到$y = 2(x + 2)^2 - 2$。
$y = 2(x + 2)^2 - 2$
把$x$轴向上平移2个单位，相当于将抛物线向下平移2个单位；把$y$轴向右平移2个单位，相当于将抛物线向左平移2个单位。
对于抛物线$y = 2x^2$，向左平移2个单位，根据“左加右减”原则，$x$变为$x + 2$，得到$y = 2(x + 2)^2$；再向下平移2个单位，根据“上加下减”原则，整体减2，得到$y = 2(x + 2)^2 - 2$。
$y = 2(x + 2)^2 - 2$
6. 二次函数 $ y= 2x^{2}-3 $ 的图象过A,B两点,若点A(a,1),B(b,1),则线段AB的长度是
$ 2\sqrt{2} $
.答案
$ 2\sqrt{2} $
解析
因为点$A(a,1)$，$B(b,1)$在二次函数$y = 2x^{2}-3$的图象上，所以将$y=1$代入函数得：$2x^{2}-3=1$，即$2x^{2}=4$，$x^{2}=2$，解得$x = \sqrt{2}$或$x=-\sqrt{2}$。
所以$a=\sqrt{2}$，$b=-\sqrt{2}$或$a=-\sqrt{2}$，$b=\sqrt{2}$。
则线段$AB$的长度为$|a - b|=|\sqrt{2}-(-\sqrt{2})|=|2\sqrt{2}|=2\sqrt{2}$。
$2\sqrt{2}$
所以$a=\sqrt{2}$，$b=-\sqrt{2}$或$a=-\sqrt{2}$，$b=\sqrt{2}$。
则线段$AB$的长度为$|a - b|=|\sqrt{2}-(-\sqrt{2})|=|2\sqrt{2}|=2\sqrt{2}$。
$2\sqrt{2}$
7. 已知一个二次函数的图象的形状与抛物线 $ y= 3x^{2} $ 相同,它的顶点坐标为(-2,4),求该二次函数的表达式.
答案
设该二次函数的表达式为$y = a(x - h)^2 + k$，其中$(h,k)$为顶点坐标。
已知顶点坐标为$(-2,4)$，则$h=-2$，$k=4$，所以表达式可写为$y = a(x + 2)^2 + 4$。
因为该二次函数图象的形状与抛物线$y = 3x^2$相同，所以$|a| = 3$，即$a = 3$或$a = -3$。
当$a = 3$时，表达式为$y = 3(x + 2)^2 + 4$；当$a = -3$时，表达式为$y = -3(x + 2)^2 + 4$。
综上，该二次函数的表达式为$y = 3(x + 2)^2 + 4$或$y = -3(x + 2)^2 + 4$。
已知顶点坐标为$(-2,4)$，则$h=-2$，$k=4$，所以表达式可写为$y = a(x + 2)^2 + 4$。
因为该二次函数图象的形状与抛物线$y = 3x^2$相同，所以$|a| = 3$，即$a = 3$或$a = -3$。
当$a = 3$时，表达式为$y = 3(x + 2)^2 + 4$；当$a = -3$时，表达式为$y = -3(x + 2)^2 + 4$。
综上，该二次函数的表达式为$y = 3(x + 2)^2 + 4$或$y = -3(x + 2)^2 + 4$。
