例 2 二次函数$y = ax^{2} + bx + c(a \neq 0)$的部分图象如图所示,对称轴为直线$x = \frac{1}{2}$,且经过点$(2,0)$,则：①$abc ＞ 0$；②$4a + 2b + c = 0$；③$2a + c = 0$；④若$(-\frac{1}{4},y_{1}),(1,y_{2})$是抛物线上的两点,则$y_{1} ＞ y_{2}$；⑤$\frac{1}{4}a + \frac{1}{2}b \geq am^{2} + bm$。其中正确的结论有()

A.2 个
B.3 个
C.4 个
D.5 个


名师导引 充分理解二次函数的图象和性质是解决此问题的关键；解题时要注意利用图象的对称性确定出图象与$x$轴的另一个交点的坐标。

B

①：抛物线开口向下，则$a＜0$，对称轴$x=-\frac{b}{2a}=\frac{1}{2}$，可得$b=-a$，所以$b＞0$，
抛物线与$y$轴的交点在$y$轴正半轴，则$c＞0$，所以$abc＜0$，故①错误。
②：抛物线经过点$(2,0)$，代入可得$4a+2b+c=0$，故②正确。
③：抛物线对称轴为$x=\frac{1}{2}$，且过点$(2,0)$，所以抛物线与$x$轴另一个交点为$(-1,0)$，
将$(-1,0)$代入解析式可得$a-b+c=0$，又因为$b=-a$，代入可得$a+a+c=0$，即$2a+c=0$，故③正确。
④：抛物线对称轴为$x=\frac{1}{2}$，则点$(-\frac{1}{4},y_1)$关于对称轴的对称点为$(\frac{5}{4},y_1)$，
点$(1,y_2)$在抛物线上，当$x＞\frac{1}{2}$时，$y$随$x$的增大而减小，因为$\frac{5}{4}＞1$，所以$y_1＜y_2$，故④错误。
⑤：当$x=\frac{1}{2}$时，函数有最大值，最大值为$\frac{1}{4}a+\frac{1}{2}b+c$，
对于任意$m$，有$am^2+bm+c\leq\frac{1}{4}a+\frac{1}{2}b+c$，即$\frac{1}{4}a+\frac{1}{2}b\geq am^2+bm$，故⑤正确。
综上，②③⑤正确。

变式训练 (2024 富顺三模)二次函数$y = ax^{2} + bx + c(a \neq 0)$的图象如图所示,对称轴是直线$x = 1$,则：①$abc ＜ 0$；②$3a + c ＞ 0$；③$(a + c)^{2} ＜ b^{2}$；④$a + b ＜ m(am - b)(m ＞ 0)$。其中正确的结论有()
A.1 个
B.2 个
C.3 个
D.4 个

D

由图像开口向上得$a＞0$，对称轴$x=1=-\frac{b}{2a}$得$b=-2a＜0$，与$y$轴交于正半轴得$c＞0$。
① $a＞0$，$b＜0$，$c＞0$，则$abc＜0$，正确；
② 当$x=-1$时，$y=a - b + c=3a + c$，由图像知$f(-1)＞0$，故$3a + c＞0$，正确；
③ $(a + c)^2 - b^2=(a + c - b)(a + c + b)=(3a + c)(c - a)$，$3a + c＞0$，顶点$f(1)=c - a＜0$，故$(a + c)^2 ＜ b^2$，正确；
④ $a + b ＜ m(am - b)$化简为$a(m + 1)^2＞0$，$a＞0$且$m＞0$，成立，正确。

1. (2024 江苏南通)将抛物线$y = x^{2} + 2x - 1$向右平移 3 个单位后得到新抛物线的顶点坐标为()
A.$(-4,-1)$
B.$(-4,2)$
C.$(2,1)$
D.$(2,-2)$

D

原抛物线$y = x^{2} + 2x - 1$可以写成顶点式$y = (x + 1)^{2} - 2$，所以原抛物线的顶点坐标为$(-1, -2)$。
根据平移规则，向右平移3个单位后，新的顶点横坐标为$-1 + 3 = 2$，纵坐标不变，仍为$-2$。
所以新抛物线的顶点坐标为$(2, -2)$。

2. (2024 喀什二模)二次函数$y = ax^{2} + bx + c(a \neq 0)$的图象如图,对称轴为直线$x = -\frac{1}{2}$,下列说法正确的是()

A.$abc ＞ 0$
B.$b^{2} - 4ac ＜ 0$
C.$2b + c ＞ 0$
D.$4a - 2b + c ＜ 0$

C

由抛物线开口向上得$a＞0$；对称轴$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{1}{2}$，得$b=a＞0$；与$y$轴交点在负半轴得$c＜0$。
$A$：$a＞0,b＞0,c＜0$，则$abc＜0$，错误。
$B$：抛物线与$x$轴有两个交点，$\Delta=b^2-4ac＞0$，错误。
$C$：$b=a$，当$x=1$时，$y=a(1)^2+b(1)+c=a+a+c=2a+c=2b+c$。由抛物线对称性，与$x$轴右交点在$(0,1)$之间，$x=1$时$y＞0$，即$2b+c＞0$，正确。
$D$：$x=-2$与$x=1$关于对称轴对称，$y$值相等，$x=1$时$y＞0$，则$4a-2b+c=y(-2)=y(1)＞0$，错误。

3. (2024 绿园二模)在平面直角坐标系中,若抛物线$x = x^{2} - 6xc$的顶点在x轴,则$c$的值为。

9（由于本题是填空题，直接填数值即可）

原题目应为“在平面直角坐标系中，若抛物线$x（这里应为y） = y（这里修正为） y=x^{2} - 6x+c$的顶点在x轴”，
对于抛物线$y = ax^{2} + bx + c$，其顶点坐标为$(-\frac{b}{2a}, c - \frac{b^{2}}{4a})$，在本题中$a = 1$，$b = -6$，所以顶点坐标为$(3, c - 9)$。
因为顶点在$x$轴上，所以顶点的$y$坐标为$0$，即$c - 9 = 0$。
解得$c = 9$。

4. (2024 新野一模)二次函数$y = x^{2} + bx + c$的图象如图,则点$P(b,c)$在第象限。

三

由抛物线开口向上得$a=1＞0$；对称轴在$y$轴右侧，即$-\frac{b}{2a}＞0$，可得$b＜0$；抛物线与$y$轴交于负半轴，得$c＜0$。所以点$P(b,c)$在第三象限。

5. 如图,抛物线$y = ax^{2} + bx + c(a \neq 0)与x轴交于A(-1,0)$,$B(3,0)$两点,与$y轴交于点C(0,3)$。
(1)求该抛物线的解析式；
(2)过线段$BC上的一动点D作DE // y$轴,交抛物线于点$E$,求线段$DE$长度的最大值。

(1) 设抛物线的解析式为 $y = a(x + 1)(x - 3)$。
把 $C(0, 3)$ 代入得：$3 = a(0 + 1)(0 - 3) = -3a$，
解得 $a = -1$。
所以，该抛物线的解析式为 $y = -(x + 1)(x - 3) = -x^2 + 2x + 3$。
(2) 直线 $BC$ 的解析式为 $y = -x + 3$。
设动点 $D$ 的横坐标为 $m$，则 $D(m, -m + 3)$，
因为$DE// y$轴，
所以$E(m, -m^2 + 2m + 3)$，
所以 $DE = (-m^2 + 2m + 3) - (-m + 3) = -m^2 + 3m= -(m -\frac{3}{2})^2 + \frac{9}{4}$，
因为$-1＜0$，
当 $m = \frac{3}{2}$ 时，$DE$ 取得最大值，最大值为 $\frac{9}{4}$，
所以线段$DE$长度的最大值为$\frac{9}{4}$。