1. 在每个圆中分别画一个最大的正方形,完成下表。(圆周率用π表示)

我发现：在任何一个圆中画一个最大的正方形,圆与正方形的面积之比都是()。

|圆的面积$/cm^2$|4π|9π|25π|
|正方形的面积$/cm^2$|8|18|50|
|圆与正方形的面积之比|π:2|π:2|π:2|
π:2

2. 求下面各图中涂色部分的面积。
(1)

(2)

(1)
圆的半径 $r = 8 ÷ 2 = 4$ (cm)，
圆的面积：$\pi r^2 = 3.14 × 4^2 = 50.24$ ($cm^2$)，
正方形面积：$8 × 8 ÷ 2 = 32$ ($cm^2$)，
涂色部分面积：$50.24 - 32 = 18.24$ ($cm^2$)。
(2)
圆的直径 $d = 8$ cm，
正方形边长为8cm，
正方形面积：$8 × 8 = 64$ ($cm^2$)，
圆的面积：$\pi × (8 ÷ 2)^2 = 50.24$ ($cm^2$)，
涂色部分面积：$64 - 50.24 = 13.76$ ($cm^2$)。

3. 学科融合 战国时期,齐、燕、秦三国的通行货币中有一种方孔圆钱(如图)。其中最大的方孔圆钱直径约为3.4 cm,重8 g左右,方孔的边长为0.8 cm。这枚方孔圆钱的面积约是多少平方厘米？

这枚方孔圆钱的面积约是 $ 8.43 $ 平方厘米。

外圆直径为3.4cm，半径 $ r = \frac{3.4}{2} = 1.7 $ cm。
外圆面积 $ A_{圆} = \pi r^2 = \pi × (1.7)^2 \approx 3.14 × 2.89 \approx 9.07 cm^2 $。
方孔的边长为0.8cm，方孔面积 $ A_{方} = 0.8 × 0.8 = 0.64 cm^2 $。
方孔圆钱的面积 $ A = A_{圆} - A_{方} = 9.07 - 0.64 = 8.43 cm^2 $。

4. 如图,这是我国建筑中经常能见到的设计。如果图中圆的面积是$12.56 m^2,$那么整个图形中所有涂色部分的面积是多少平方米？

答案略

圆的半径的平方：$12.56÷3.14 = 4$，半径$r = 2m$，直径$d=4m$。
正方形边长等于圆的直径，面积：$4×4 = 16m^2$。
圆内正方形面积：对角线为$4m$，面积$\frac{4×4}{2}=8m^2$。
涂色部分面积：$16 - (12.56 - 8)=11.44m^2$。
$11.44$

5. 新情境 如图所示的扫地机器人的底面是一个半径为10 cm的圆盘。这个扫地机器人在一个长方形场地内移动(如右图),碰到障碍物会自动转弯,这个扫地机器人在扫地时,底面覆盖不到的面积是多少平方厘米？

1. 分析：
底面覆盖不到的区域为长方形的面积减去圆盘扫过的面积，而圆盘扫过的区域为一个半径为$10cm$的圆，由于圆盘在移动过程中，其扫过的区域刚好可以覆盖整个长方形内除四个角外的区域，四个角为四个相同的边长为$10cm$的正方形面积减去一个$\frac{1}{4}$圆的面积。
2. 计算四个角未覆盖的面积：
边长为$10cm$的正方形面积$S_{正方形}=10×10 = 100$ $cm^2$。
半径为$10cm$的$\frac{1}{4}$圆的面积$S_{\frac{1}{4}圆}=\frac{1}{4}×3.14×10^{2}=\frac{1}{4}×3.14×100 = 78.5$ $cm^2$。
一个角的面积$S_{角}=S_{正方形}-S_{\frac{1}{4}圆}=100 - 78.5 = 21.5$ $cm^2$。
四个角的面积$S = 4× S_{角}=4×21.5 = 86$ $cm^2$。
3. 结论：
这个扫地机器人在扫地时，底面覆盖不到的面积是$86$ $cm^2$。