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7. 当 $k$ 取什么整数时,关于 $x$ 的方程 $\frac{x - 4}{8} - \frac{kx - 1}{4} = \frac{1}{2}$ 的解是正整数？
答案
0或-1
解析
去分母，得$x - 4 - 2(kx - 1) = 4$，
去括号，得$x - 4 - 2kx + 2 = 4$，
移项、合并同类项，得$(1 - 2k)x = 6$，
当$1 - 2k \neq 0$，即$k \neq \frac{1}{2}$时，$x = \frac{6}{1 - 2k}$，
因为方程的解是正整数，所以$\frac{6}{1 - 2k}$是正整数，
则$1 - 2k$是6的正因数，6的正因数为1，2，3，6，
当$1 - 2k = 1$时，$k = 0$；
当$1 - 2k = 2$时，$k = -\frac{1}{2}$（不是整数，舍去）；
当$1 - 2k = 3$时，$k = -1$；
当$1 - 2k = 6$时，$k = -\frac{5}{2}$（不是整数，舍去），
综上，$k$取整数0或-1。
去括号，得$x - 4 - 2kx + 2 = 4$，
移项、合并同类项，得$(1 - 2k)x = 6$，
当$1 - 2k \neq 0$，即$k \neq \frac{1}{2}$时，$x = \frac{6}{1 - 2k}$，
因为方程的解是正整数，所以$\frac{6}{1 - 2k}$是正整数，
则$1 - 2k$是6的正因数，6的正因数为1，2，3，6，
当$1 - 2k = 1$时，$k = 0$；
当$1 - 2k = 2$时，$k = -\frac{1}{2}$（不是整数，舍去）；
当$1 - 2k = 3$时，$k = -1$；
当$1 - 2k = 6$时，$k = -\frac{5}{2}$（不是整数，舍去），
综上，$k$取整数0或-1。
8. 已知方程 $\frac{2x - 3}{5} = \frac{2}{3}x - 3$ 与方程 $3n - \frac{1}{4} = 3(x + n) - 2n$ 的解相同,求 $(2n - 27)^{2}$ 的值.
答案
$\frac{1}{16}$
解析
解：解方程$\frac{2x - 3}{5} = \frac{2}{3}x - 3$，
两边同乘15得：$3(2x - 3) = 10x - 45$，
去括号：$6x - 9 = 10x - 45$，
移项：$6x - 10x = -45 + 9$，
合并同类项：$-4x = -36$，
解得：$x = 9$。
将$x = 9$代入方程$3n - \frac{1}{4} = 3(x + n) - 2n$，
得：$3n - \frac{1}{4} = 3(9 + n) - 2n$，
去括号：$3n - \frac{1}{4} = 27 + 3n - 2n$，
合并同类项：$3n - \frac{1}{4} = 27 + n$，
移项：$3n - n = 27 + \frac{1}{4}$，
合并同类项：$2n = \frac{109}{4}$，
解得：$n = \frac{109}{8}$。
则$(2n - 27)^{2} = \left(2×\frac{109}{8} - 27\right)^{2} = \left(\frac{109}{4} - \frac{108}{4}\right)^{2} = \left(\frac{1}{4}\right)^{2} = \frac{1}{16}$。
$\frac{1}{16}$
两边同乘15得：$3(2x - 3) = 10x - 45$，
去括号：$6x - 9 = 10x - 45$，
移项：$6x - 10x = -45 + 9$，
合并同类项：$-4x = -36$，
解得：$x = 9$。
将$x = 9$代入方程$3n - \frac{1}{4} = 3(x + n) - 2n$，
得：$3n - \frac{1}{4} = 3(9 + n) - 2n$，
去括号：$3n - \frac{1}{4} = 27 + 3n - 2n$，
合并同类项：$3n - \frac{1}{4} = 27 + n$，
移项：$3n - n = 27 + \frac{1}{4}$，
合并同类项：$2n = \frac{109}{4}$，
解得：$n = \frac{109}{8}$。
则$(2n - 27)^{2} = \left(2×\frac{109}{8} - 27\right)^{2} = \left(\frac{109}{4} - \frac{108}{4}\right)^{2} = \left(\frac{1}{4}\right)^{2} = \frac{1}{16}$。
$\frac{1}{16}$
9. 李明同学在解方程 $\frac{2x - 1}{3} = \frac{x + a}{3} - 1$ 去分母时,方程右边的 $- 1$ 没有乘 $3$,因而求得方程的解为 $x = 2$,试求 $a$ 的值,并正确地解方程.
答案
由题意,得$x=2$是方程$2x-1=x+a-1$的解,所以$a=2$,原方程的解为$x=0$.
解析
由题意，李明去分母时方程右边的$-1$没有乘$3$，此时方程变为$2x - 1 = x + a - 1$。
因为$x = 2$是这个错误方程的解，将$x = 2$代入得：$2×2 - 1 = 2 + a - 1$，即$4 - 1 = 1 + a$，解得$a = 2$。
原方程为$\frac{2x - 1}{3} = \frac{x + 2}{3} - 1$，去分母得$2x - 1 = x + 2 - 3$，移项得$2x - x = 2 - 3 + 1$，解得$x = 0$。
综上，$a$的值为$2$，原方程的解为$x = 0$。
因为$x = 2$是这个错误方程的解，将$x = 2$代入得：$2×2 - 1 = 2 + a - 1$，即$4 - 1 = 1 + a$，解得$a = 2$。
原方程为$\frac{2x - 1}{3} = \frac{x + 2}{3} - 1$，去分母得$2x - 1 = x + 2 - 3$，移项得$2x - x = 2 - 3 + 1$，解得$x = 0$。
综上，$a$的值为$2$，原方程的解为$x = 0$。
10. 已知方程 $(m + 1)x^{|m|} - 8 = 0$ 是关于 $x$ 的一元一次方程.
(1)求代数式 $5x^{2} - 2(xm + 2x^{2}) - (xm + 6)$ 的值；
(2)求关于 $y$ 的方程 $m|y - 2| = x$ 的解.
(1)求代数式 $5x^{2} - 2(xm + 2x^{2}) - (xm + 6)$ 的值；
(2)求关于 $y$ 的方程 $m|y - 2| = x$ 的解.
答案
(1) 因为方程$(m+1)x^{|m|}-8=0$是关于x的一元一次方程,所以$|m|=1$且$(m+1)≠0$,所以$m=1$,原一元一次方程为$2x-8=0$,解得$x=4$,原式$=5x²-2(xm+2x²)-(xm+6)=5x²-2x-4x²-x-6=x²-3x-6$,当$x=4$时,原式$=4²-4×3-6=-2$.
(2) $m=1$代入方程为$|y-2|=4$,所以$y-2=4$或$y-2=-4$,解得$y=6$或$y=-2$.
11. 某数学兴趣小组研究我国古代《算法统宗》里这样一首诗：我问开店李三公,众客都来到店中,一房七客多七客,一房九客一房空. 诗中后两句的意思是如果每一间客房住 $7$ 人,那么有 $7$ 人无房可住；如果每一间客房住 $9$ 人,那么就空出一间房.
(1)该店有客房多少间？房客多少人？
(2)假设店主李三公将客房进行改造后,房间数大大增加. 每间客房收费 $20$ 钱,且每间客房最多入住 $4$ 人,一次性定客房 $18$ 间及以上(含 $18$ 间),房费按八折优惠. 若诗中“众客”再次一起入住,他们如何订房更划算？
(1)该店有客房多少间？房客多少人？
(2)假设店主李三公将客房进行改造后,房间数大大增加. 每间客房收费 $20$ 钱,且每间客房最多入住 $4$ 人,一次性定客房 $18$ 间及以上(含 $18$ 间),房费按八折优惠. 若诗中“众客”再次一起入住,他们如何订房更划算？
答案
(1) 设该店有客房x间.由题意,得$7x+7=9x-9$,解得$x=8$,$7×8+7=63$(人).所以该店有客房8间,房客63人.
(2) 如果每4人一个房间,$63÷4=15\frac{3}{4}$(间),需要16间客房,总费用为$16×20=320$(钱). 如果订18间,其中有四个人一起住,有三个人一起住,则总费用为$18×20×0.8=288$(钱),$288＜320$,所以它们再次入住订18间房时更划算.
