1. 如图,已知直线 $ MN $ 是线段 $ AB $ 的垂直平分线,$ O $ 为垂足,$ C $,$ D $ 是直线 $ MN $ 上两点,且 $ AC = BD $,试证明 $ AB $ 所在的直线是线段 $ CD $ 的垂直平分线。

证明：
∵MN是AB的垂直平分线，O为垂足，
∴OA=OB，MN⊥AB，即∠AOC=∠BOD=90°。
∵C在MN上，由线段垂直平分线性质得AC=BC；
∵D在MN上，同理得AD=BD。
在Rt△AOC和Rt△BOD中，
$\left\{\begin{array}{l} AC=BD\ (已知)\\ OA=OB\ (已证)\end{array}\right.$
∴Rt△AOC≌Rt△BOD（HL）。
∴CO=DO（全等三角形对应边相等）。
∵C，O，D在直线MN上，CO=DO，
∴O为CD中点。
又∵MN⊥AB，CD在直线MN上，
∴AB⊥CD，垂足为O。
综上，AB垂直平分CD，即AB所在直线是线段CD的垂直平分线。

【典型例题 2】命题“直角三角形的两个锐角互余”的逆命题是,它们(填“是”或“不是”)互逆定理。

【答案】有两个锐角互余的三角形是直角三角形 是

2. 下列命题的逆命题是真命题的是()
A.如果 $ a ＞ b $,那么 $ ac ＞ bc $
B.如果 $ a = b = 0 $,那么 $ ab = 0 $
C.如果 $ a ＞ b $,那么 $ a^2 ＞ b^2 $
D.如果 $ |a| = |b| $,那么 $ a = b $

D

A选项：
原命题：如果$a \gt b$，那么$ac \gt bc$。
逆命题：如果$ac \gt bc$，那么$a \gt b$，当$c\lt0$时不成立，逆命题为假命题。
B选项：
原命题：如果$a = b = 0$，那么$ab = 0$。
逆命题：如果$ab = 0$，那么$a = b = 0$，$a$、$b$只要有一个为$0$即可，逆命题为假命题。
C选项：
原命题：如果$a \gt b$，那么$a^2 \gt b^2$。
逆命题：如果$a^2 \gt b^2$，那么$a \gt b$，当$a$、$b$为负数时不成立，逆命题为假命题。
D选项：
原命题：如果$\vert a\vert = \vert b\vert$，那么$a = b$。
逆命题：如果$a = b$，那么$\vert a\vert = \vert b\vert$，根据绝对值的性质，该逆命题为真命题。

1. 如图,$ AC = AD $,$ BC = BD $,则下列判断正确的是()

A.$ AB $ 垂直平分 $ CD $
B.$ CD $ 垂直平分 $ AB $
C.$ AB $ 与 $ CD $ 互相垂直平分
D.$ CD $ 平分 $ \angle ACB $

A

由于$AC = AD$，可知点A在线段$CD$的垂直平分线上，
同理，由于$BC = BD$，点B也在线段$CD$的垂直平分线上，
由于两点确定一条直线，且这条直线是唯一的，所以线段$AB$所在的直线就是$CD$的垂直平分线，
即$AB$垂直平分$CD$。

2. 如图,$ \triangle ABC $ 的边 $ AB $ 的垂直平分线交 $ AC $ 于点 $ D $,连接 $ BD $。若 $ AC = 8 $,$ CD = 5 $,则 $ BD = $。

3

因为点D在AB的垂直平分线上，所以AD=BD。已知AC=8，CD=5，所以AD=AC-CD=8-5=3，因此BD=AD=3。

3. 写出下列命题的逆命题,并判断这些逆命题是否成立。
(1)如果两个实数都是负数,那么它们的和是负数；
(2)如果两个三角形全等,那么这两个三角形的面积相等。

(1)逆命题：如果两个实数的和是负数，那么这两个实数都是负数。
不成立。反例：$−3+2=−1$，和是负数$（−1）$，但并不是两个数都是负数。
(2)逆命题：如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等。
不成立。反例：底和高分别相等的两个三角形面积相等，但并不一定全等。