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1. 下列长度的三条线段,能组成三角形的是(
A.1,3,4
B.2,2,7
C.4,5,7
D.3,3,6
C
)A.1,3,4
B.2,2,7
C.4,5,7
D.3,3,6
答案
C
解析
根据三角形三边关系定理，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，对选项逐一分析：
选项A：1+3 = 4，不满足三边关系，不能组成三角形。
选项B：2+2＜7，不满足三边关系，不能组成三角形。
选项C：4 + 5＞7，4+7＞5，5+7＞4，满足三边关系，能组成三角形。
选项D：3+3 = 6，不满足三边关系，不能组成三角形。
选项A：1+3 = 4，不满足三边关系，不能组成三角形。
选项B：2+2＜7，不满足三边关系，不能组成三角形。
选项C：4 + 5＞7，4+7＞5，5+7＞4，满足三边关系，能组成三角形。
选项D：3+3 = 6，不满足三边关系，不能组成三角形。
2. 已知三角形的三边长分别是 3,$ x $,9,化简 $ |x - 5| + |x - 13| = $
8
.答案
8
解析
根据三角形三边关系定理，三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
已知三角形三边长分别是$3$，$x$，$9$，则$9 - 3\lt x\lt 9 + 3$，即$6\lt x\lt 12$。
当$6\lt x\lt 12$时，$x - 5\gt 0$，则$\vert x - 5\vert=x - 5$；$x - 13\lt 0$，则$\vert x - 13\vert=13 - x$。
所以$\vert x - 5\vert+\vert x - 13\vert=(x - 5)+(13 - x)=8$。
已知三角形三边长分别是$3$，$x$，$9$，则$9 - 3\lt x\lt 9 + 3$，即$6\lt x\lt 12$。
当$6\lt x\lt 12$时，$x - 5\gt 0$，则$\vert x - 5\vert=x - 5$；$x - 13\lt 0$，则$\vert x - 13\vert=13 - x$。
所以$\vert x - 5\vert+\vert x - 13\vert=(x - 5)+(13 - x)=8$。
【典型例题 2】下列生活实物图形中,不是运用三角形的稳定性的是(
C
)答案
【解析】选项 A,B,D 中均利用了三角形的稳定性,选项 C 中利用的原理是两点确定一条直线.
【答案】C
【答案】C
3. 如图,人字梯中间一般会设计一“拉杆”,这样做所蕴含的数学原理是(
A.三角形的稳定性
B.两点确定一条直线
C.垂线段最短
D.两点之间,线段最短
A
)A.三角形的稳定性
B.两点确定一条直线
C.垂线段最短
D.两点之间,线段最短
答案
A
解析
人字梯原本构成一个折线形状，容易变形，加入“拉杆”后形成了三角形结构。根据三角形的稳定性原理，三角形具有固定不变的形状，不会像四边形那样容易变形，所以加入“拉杆”是为了利用三角形的稳定性。
1. 用一根小木棒与两根长度分别为 3 cm,5 cm 的小木棒组成三角形,则这根小木棒的长度可以是(
A.9 cm
B.7 cm
C.2 cm
D.1 cm
B
)A.9 cm
B.7 cm
C.2 cm
D.1 cm
答案
B
解析
设这根小木棒的长度为 $x$ cm，根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，即：
$5 + 3 ＞ x$，
$5 - 3 ＜ x$，
$2＜ x ＜ 8$
在选项中，只有 $7$ cm 满足这个条件。
$5 + 3 ＞ x$，
$5 - 3 ＜ x$，
$2＜ x ＜ 8$
在选项中，只有 $7$ cm 满足这个条件。
2. 小冲家和小锐家到学校的直线距离分别是 5 km 和 3 km. 那么小冲、小锐两家的直线距离不可能是(
A.1 km
B.2 km
C.3 km
D.8 km
A
)A.1 km
B.2 km
C.3 km
D.8 km
答案
A
解析
设小冲家，小锐家，学校三地所构成的三角形边分别为$a=5$（km),$b=3$（km），两边夹点为学校，两家距离为$c$。
根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的性质，
有：$a-b\lt c\lt a+b$，
代入$a=5$（km），$b=3$（km）得：
$5-3\lt c\lt 5+3$
即：
$2\lt c\lt 8$
同时，当两家和学校三个点共线时，可以得到c的两个极端值，
即$c=a+b=8$（km）或$c=a-b=2$（km），
但此时不构成三角形，只作为边界值参考，
所以，小冲和小锐两家的直线距离$c$满足：
$2km\le c\le 8km$
因为$1$（km）不在此范围内，
所以两家直线距离不可能为$1$（km）。
根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边的性质，
有：$a-b\lt c\lt a+b$，
代入$a=5$（km），$b=3$（km）得：
$5-3\lt c\lt 5+3$
即：
$2\lt c\lt 8$
同时，当两家和学校三个点共线时，可以得到c的两个极端值，
即$c=a+b=8$（km）或$c=a-b=2$（km），
但此时不构成三角形，只作为边界值参考，
所以，小冲和小锐两家的直线距离$c$满足：
$2km\le c\le 8km$
因为$1$（km）不在此范围内，
所以两家直线距离不可能为$1$（km）。
3. 在长度分别为 4 厘米、5 厘米、9 厘米、12 厘米的四条线段中,任选三条线段可以组成三角形的个数为(
A.1
B.2
C.3
D.4
B
)A.1
B.2
C.3
D.4
答案
B
解析
任选三条线段的组合有：4,5,9；4,5,12；4,9,12；5,9,12。根据三角形三边关系“任意两边之和大于第三边”：
4+5=9，不满足，不能组成三角形；
4+5=9＜12，不满足，不能组成三角形；
4+9=13＞12，4+12=16＞9，9+12=21＞4，满足，能组成三角形；
5+9=14＞12，5+12=17＞9，9+12=21＞5，满足，能组成三角形。
可组成三角形的个数为2。
4+5=9，不满足，不能组成三角形；
4+5=9＜12，不满足，不能组成三角形；
4+9=13＞12，4+12=16＞9，9+12=21＞4，满足，能组成三角形；
5+9=14＞12，5+12=17＞9，9+12=21＞5，满足，能组成三角形。
可组成三角形的个数为2。
4. 四边形 $ ABCD $ 的边长如图所示,线段 $ AC $ 的长度随四边形形状的改变而变化. 当 $ \triangle ABC $ 为等腰三角形时,$ AC $ 的长为(
A.2
B.3
C.4
D.5
B
)A.2
B.3
C.4
D.5
答案
B
解析
△ABC为等腰三角形时，分两种情况讨论：
1. AB=AC：AB=3，则AC=3。此时△ABC三边为3,4,3，满足三角形三边关系（3+3＞4，4-3＜3）。在△ACD中，AD=2，CD=2，AC=3，三边为2,2,3，满足2+2＞3，成立。
2. AC=BC：BC=4，则AC=4。此时△ACD中AD=2，CD=2，AC=4，2+2=4，不满足三角形三边关系（两边之和需大于第三边），故不成立。
综上，AC=3。
1. AB=AC：AB=3，则AC=3。此时△ABC三边为3,4,3，满足三角形三边关系（3+3＞4，4-3＜3）。在△ACD中，AD=2，CD=2，AC=3，三边为2,2,3，满足2+2＞3，成立。
2. AC=BC：BC=4，则AC=4。此时△ACD中AD=2，CD=2，AC=4，2+2=4，不满足三角形三边关系（两边之和需大于第三边），故不成立。
综上，AC=3。
5. 已知 $ \triangle ABC $ 的三边长分别为 $ a $,$ b $,$ c $,则 $ |a + b - c| - |a - b - c| = $
$2a - 2c$
.答案
$2a - 2c$
解析
根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，得$a + b ＞ c$，$b + c ＞ a$，即$a + b - c ＞ 0$，$a - b - c = a - (b + c) ＜ 0$。则$|a + b - c| = a + b - c$，$|a - b - c| = -(a - b - c) = -a + b + c$。所以原式$=(a + b - c) - (-a + b + c) = a + b - c + a - b - c = 2a - 2c$。
