1. 下列条件中,不能使两个直角三角形全等的是()
A.斜边和一锐角分别对应相等
B.两条直角边分别对应相等
C.一条直角边与斜边分别对应相等
D.两锐角对应相等

D

A选项，斜边和一锐角对应相等，可根据“AAS”判定两个直角三角形全等；B选项，两条直角边分别对应相等，可根据“SAS”判定两个直角三角形全等；C选项，一条直角边与斜边分别对应相等，可根据“HL”判定两个直角三角形全等；D选项，两锐角对应相等，只能说明两个三角形相似，不能判定两个直角三角形全等。

2. 如图,有两个长度相同的滑梯($ BC = EF $),左边滑梯的高度 $ AC $ 与右边滑梯水平方向的长度 $ DF $ 相等,则① $ AB = DE $；② $ \angle B + \angle F = 90° $；③ $ \angle B = \angle DEF $ 中正确的个数是()

A.0
B.1
C.2
D.3

D

由题意知，$AC \perp AB$，$ED \perp DF$，故$\triangle ABC$和$\triangle DEF$均为直角三角形，且$\angle CAB = \angle EDF = 90°$。
已知$BC = EF$（斜边相等），$AC = DF$（直角边相等），根据“HL”定理可得$Rt\triangle ABC \cong Rt\triangle DEF$。
① 全等三角形对应边相等，故$AB = DE$，①正确；
② 全等三角形对应角相等，得$\angle ACB = \angle F$。在$Rt\triangle ABC$中，$\angle B + \angle ACB = 90°$，故$\angle B + \angle F = 90°$，②正确；
③ 全等三角形对应角相等，得$\angle B = \angle DEF$，③正确。
综上，①②③均正确，正确个数为3。

3. 如图,已知 $ AE \perp BC $,$ DF \perp BC $,垂足分别为 $ E $,$ F $,$ AE = DF $,$ AB = DC $,则 $ \triangle $$ \cong \triangle $(HL)。

AEB；DFC

∵AE⊥BC，DF⊥BC，∴∠AEB=∠DFC=90°。在Rt△AEB和Rt△DFC中，AB=DC，AE=DF，∴Rt△AEB≌Rt△DFC（HL）

4. 如图,在 $ \triangle ABC $ 中,$ PB = PQ $,$ PR = PS $,$ PR \perp AB $ 于 $ R $,$ PS \perp AC $ 于 $ S $,则下列三个结论：① $ AS = AR $；② $ QP // AR $；③ $ AB + AQ = 2AR $ 中()

A.全部正确
B.仅①和③正确
C.仅②和③正确
D.仅①和②正确

B

① ∵PR⊥AB，PS⊥AC，∴∠ARP=∠ASP=90°。在Rt△ARP和Rt△ASP中，AP=AP，PR=PS，∴Rt△ARP≌Rt△ASP（HL），∴AR=AS，①正确。
② 无法直接证明QP//AR，条件不足，②错误。
③ ∵Rt△ARP≌Rt△ASP，∴AR=AS。在Rt△BRP和Rt△QSP中，PB=PQ，PR=PS，∴Rt△BRP≌Rt△QSP（HL），∴BR=QS。设AR=AS=x，则AB=AR+BR=x+BR，AQ=AS-QS=x-BR，∴AB+AQ=(x+BR)+(x-BR)=2x=2AR，③正确。

5. 如图,在 $ Rt \triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90° $,$ AC = 12 $,$ BC = 6 $,$ P $,$ Q $ 两点分别在线段 $ AC $ 和 $ AC $ 的垂线 $ AX $ 上移动,且 $ PQ = AB $,要使 $ \triangle ABC $ 和 $ \triangle APQ $ 全等,则 $ AP $ 的长为。

6或12

∵AX是AC的垂线，∴∠PAQ=90°，即△APQ为Rt△，∠PAQ=90°；△ABC为Rt△，∠C=90°，且PQ=AB（斜边相等）。
要使Rt△ABC≌Rt△APQ，分两种情况：
1. 当BC=AP，AC=AQ时：
∵BC=6，∴AP=BC=6。
2. 当AC=AP，BC=AQ时：
∵AC=12，∴AP=AC=12（此时P与C重合，符合P在线段AC上）。
综上，AP的长为6或12。

6. (1)如图 1,$ AC $,$ BD $ 相交于点 $ G $,点 $ A $,$ E $,$ F $,$ C $ 在一条直线上,$ AE = CF $,过点 $ E $,$ F $ 分别作 $ DE \perp AC $,$ BF \perp AC $,若 $ AB = CD $,试证明 $ BD $ 平分线段 $ EF $。
(2)若将图 1 变为图 2,其余条件不变时,上述结论是否仍然成立？请说明理由。

(1)证明：
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠AFB=∠CED=90°（垂直定义）。
∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF（等式性质），即AF=CE。
在Rt△ABF和Rt△CDE中，
$\left\{\begin{array}{l} AB=CD\\ AF=CE\end{array}\right.$，
∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL）。
∴BF=DE（全等三角形对应边相等）。
∵AC与BD交于点G，
∴∠BGF=∠DGE（对顶角相等）。
在△BFG和△DEG中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠BFG=∠DEG=90°\\ ∠BGF=∠DGE\\ BF=DE\end{array}\right.$，
∴△BFG≌△DEG（AAS）。
∴FG=EG（全等三角形对应边相等），即BD平分线段EF。
(2)结论仍然成立。
理由：
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠AFB=∠CED=90°。
∵AE=CF，
∴AE-EF=CF-EF（等式性质），即AF=CE。
在Rt△ABF和Rt△CDE中，
$\left\{\begin{array}{l} AB=CD\\ AF=CE\end{array}\right.$，
∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL）。
∴BF=DE。
∵AC与BD交于点G，
∴∠BGF=∠DGE（对顶角相等）。
在△BFG和△DEG中，
$\left\{\begin{array}{l} ∠BFG=∠DEG=90°\\ ∠BGF=∠DGE\\ BF=DE\end{array}\right.$，
∴△BFG≌△DEG（AAS）。
∴FG=EG，即BD平分线段EF。