23. 定义:两个角对应互余,且这两个角的夹边对应相等的两个三角形叫做“青竹三角形”.如图甲所示,在$\triangle ABC$和DEF中,若$\angle A+\angle E= \angle B+\angle D= 90^\circ$,且$AB= DE$,则$\triangle ABC$和DEF是“青竹三角形”.
(1) 下列四边形中,一定能被一条对角线分成两个“青竹三角形”的是.(填序号)
①平行四边形 ②矩形 ③菱形 ④正方形
(2) 如图乙所示,在$\triangle ABC$中,$\angle ACB= 90^\circ$,$AC= BC$,D是AB上任意一点(不与点A,B重合),设AD,BD,CD的长分别为a,b,c,请写出图中的一对“青竹三角形”,并用含a,b的代数式表示$c^2$.

(3) 如图丙所示,$\odot O$的半径为4,四边形ABCD是$\odot O$的内接四边形,且$\triangle ABC和\triangle ADC$是“青竹三角形”.
①求$AD^2+BC^2$的值；

②若$\angle BAC= \angle ACD$,$\angle ABC= 75^\circ$,求$\triangle ABC和\triangle ADC$的周长之差.

(1) ②④
(2) 解：$\triangle ACD$和$\triangle BCD$是“青竹三角形”。
过点C作$CE \perp AB$于点E，
$\because AC=BC$，$\angle ACB=90^\circ$，
$\therefore AE=BE=\frac{AB}{2}=\frac{a+b}{2}$，$CE=AE=\frac{a+b}{2}$，
$DE=\left|\frac{a+b}{2}-a\right|=\left|\frac{b-a}{2}\right|$，
在$Rt\triangle CDE$中，$c^2=CE^2+DE^2=\left(\frac{a+b}{2}\right)^2+\left(\frac{b-a}{2}\right)^2=\frac{a^2+b^2}{2}$
(3) ①解：连接BD，
$\because \triangle ABC$和$\triangle ADC$是“青竹三角形”，
$\therefore \angle BAC+\angle CAD=90^\circ$，即$\angle BAD=90^\circ$，
$\therefore BD$是$\odot O$的直径，$BD=8$，
$\because$四边形ABCD内接于$\odot O$，
$\therefore \angle ABC+\angle ADC=180^\circ$，
又$\because \angle ABC+\angle ADC'=90^\circ$（设$\angle ADC'$为对应互余角），
$\therefore \angle ADC=90^\circ+\angle ADC'$，
由“青竹三角形”定义及圆内接四边形性质可得$AD^2+BC^2=BD^2=64$
②解：$\because \angle BAC=\angle ACD$，$\angle ABC=75^\circ$，
$\angle BAC+\angle CAD=90^\circ$，$\angle ABC+\angle ADC=180^\circ$，
$\angle ADC=105^\circ$，$\angle BAC=30^\circ$，$\angle CAD=60^\circ$，
在$Rt\triangle ABD$中，$AB=4\sqrt{3}$，$AD=4$，
在$\triangle ABC$中，由正弦定理得$BC=4$，$AC=4\sqrt{2}$，
在$\triangle ADC$中，$CD=4\sqrt{3}$，$AC=4\sqrt{2}$，
$\triangle ABC$周长：$AB+BC+AC=4\sqrt{3}+4+4\sqrt{2}$，
$\triangle ADC$周长：$AD+CD+AC=4+4\sqrt{3}+4\sqrt{2}$，
周长之差为$0$