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3. 二次函数$y = 3x^2 - 2x - 4$的二次项系数与常数项的和是 (
A.$1$
B.$-1$
C.$7$
D.$-6$
B
)A.$1$
B.$-1$
C.$7$
D.$-6$
答案
3.B
解析
二次函数$y = 3x^2 - 2x - 4$中，二次项系数为$3$，常数项为$-4$，它们的和是$3 + (-4) = -1$。
B
B
【例 1】下列函数中，哪些是二次函数？
(1)$y = 3x - 1$；
(2)$y = 3x^2 + 2$；
(3)$y = 3x^3 + 2x^2$；
(4)$y = 2x^2 - 2x + 1$；
(5)$y = x^2 - x(1 + x)$；
(6)$y = x^{-2} + x$。
解：
(1)$y = 3x - 1$；
(2)$y = 3x^2 + 2$；
(3)$y = 3x^3 + 2x^2$；
(4)$y = 2x^2 - 2x + 1$；
(5)$y = x^2 - x(1 + x)$；
(6)$y = x^{-2} + x$。
解：
答案
解:
(2)
(4)是二次函数.
(2)
(4)是二次函数.
1. 下列函数一定是二次函数的是 (
A.$y = 1 - \frac{2}{3}x^2$
B.$y = x^2 + \frac{1}{x}$
C.$y = (x + 1)^2 - x^2$
D.$y = ax^2 + bx + c$
A
)A.$y = 1 - \frac{2}{3}x^2$
B.$y = x^2 + \frac{1}{x}$
C.$y = (x + 1)^2 - x^2$
D.$y = ax^2 + bx + c$
答案
1.A
【例 2】已知函数$y = (m + 2)x^{m^2 - 3m - 8} + 2x + 6$是关于$x$的二次函数，求满足条件的$m$的值。
思考 1：对于二次函数，其二次项系数$a$能不能为$0$，为什么？
思考 2：因为函数是关于$x$的二次函数，而$2x$项的次数为$1$，所以$(m + 2)x^{m^2 - 3m - 8}$的次数最高，即$m^2 - 3m - 8 =$
解：
思考 1：对于二次函数，其二次项系数$a$能不能为$0$，为什么？
思考 2：因为函数是关于$x$的二次函数，而$2x$项的次数为$1$，所以$(m + 2)x^{m^2 - 3m - 8}$的次数最高，即$m^2 - 3m - 8 =$
2
。解：
答案
思考1:$a≠0$,因为当$a=0$时,函数不再是二次函数. 思考2:2 解:根据题意可得,$m^{2}-3m-8=2$,且$m+2≠0$,解得$m=5$,即满足条件的 m 的值为5.
解析
解：根据题意可得，$m^{2}-3m-8=2$，且$m+2\neq0$。
解方程$m^{2}-3m-8=2$，即$m^{2}-3m-10=0$，因式分解得$(m-5)(m+2)=0$，解得$m=5$或$m=-2$。
又因为$m+2\neq0$，所以$m\neq-2$，故$m=5$。
即满足条件的$m$的值为$5$。
解方程$m^{2}-3m-8=2$，即$m^{2}-3m-10=0$，因式分解得$(m-5)(m+2)=0$，解得$m=5$或$m=-2$。
又因为$m+2\neq0$，所以$m\neq-2$，故$m=5$。
即满足条件的$m$的值为$5$。
2. 若$y = (m + 1)x^{m^2 - m} + 3x$是关于$x$的二次函数，求$m$的值及函数解析式。
答案
2. 解:$m=2,y=3x^{2}+3x.$
解析
解：因为$y=(m + 1)x^{m^2 - m} + 3x$是关于$x$的二次函数，所以$\begin{cases}m^2 - m = 2 \\ m + 1 \neq 0\end{cases}$。
由$m^2 - m = 2$，得$m^2 - m - 2 = 0$，即$(m - 2)(m + 1) = 0$，解得$m = 2$或$m = -1$。
又因为$m + 1 \neq 0$，所以$m \neq -1$，故$m = 2$。
此时函数解析式为$y=(2 + 1)x^{2^2 - 2} + 3x = 3x^2 + 3x$。
综上，$m = 2$，函数解析式为$y = 3x^2 + 3x$。
由$m^2 - m = 2$，得$m^2 - m - 2 = 0$，即$(m - 2)(m + 1) = 0$，解得$m = 2$或$m = -1$。
又因为$m + 1 \neq 0$，所以$m \neq -1$，故$m = 2$。
此时函数解析式为$y=(2 + 1)x^{2^2 - 2} + 3x = 3x^2 + 3x$。
综上，$m = 2$，函数解析式为$y = 3x^2 + 3x$。
【例 3】某中学课外活动小组准备围建一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为$20$ $m$的篱笆围成。如图 22.1.1 - 1(示意图)，已知墙长为$12$ $m$，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为$x$ $m$。
(1) 若平行于墙的一边的长为$a$ $m$，直接写出$a$与$x$之间的函数解析式及自变量$x$的取值范围；
(2) 设苗圃园的面积为$y$ $m^2$，求$y$与$x$之间的函数解析式，并指明函数的类型；
(3) 当这个苗圃园的面积为$42$ $m^2$时，求$x$的值。
思考 1：$a$与$x$成什么函数？其中自变量$x$的取值范围受什么条件的限制？
思考 2：矩形的面积$=$
解：
(1) 若平行于墙的一边的长为$a$ $m$，直接写出$a$与$x$之间的函数解析式及自变量$x$的取值范围；
(2) 设苗圃园的面积为$y$ $m^2$，求$y$与$x$之间的函数解析式，并指明函数的类型；
(3) 当这个苗圃园的面积为$42$ $m^2$时，求$x$的值。
思考 1：$a$与$x$成什么函数？其中自变量$x$的取值范围受什么条件的限制？
思考 2：矩形的面积$=$
长
$×$宽
，在本题中可表示为$y=ax$
。解：
答案
思考1:a 与x 成一次函数关系,x 的取值要保证矩形苗圃园平行于墙的一边的长不大于墙长,且矩形的长和宽都大于0. 思考2:长 宽$y=ax$ 解:
(1)$a=20-2x(4≤x＜10).$
(2)y 与x 之间的函数解析式为$y=ax=(20-2x)x=-2x^{2}+20x(4≤x＜10).$ 所以 y 是x 的二次函数.
(3)$x=7.$
(1)$a=20-2x(4≤x＜10).$
(2)y 与x 之间的函数解析式为$y=ax=(20-2x)x=-2x^{2}+20x(4≤x＜10).$ 所以 y 是x 的二次函数.
(3)$x=7.$
