6. 如图所示,在长方形ABCD中,已知AB= 6cm,BC= 10cm,点P以2cm/s的速度由点B向点C运动,同时点Q以a cm/s的速度由点C向点D运动,若某时刻以A,B,P为顶点的三角形和以P,C,Q为顶点的三角形全等,则a的值为。

设运动时间为$t$秒。
因为点$P$以$2cm/s$的速度由点$B$向点$C$运动，所以$BP = 2t cm$，则$PC=(10 - 2t)cm$。
分两种情况讨论：
情况一：当$\triangle ABP\cong\triangle CPQ$时，
$AB = CP$，$BP = CQ$。
由$AB = CP$，$AB = 6cm$，可得$10 - 2t = 6$，
解得$t = 2$。
因为$BP = CQ$，$BP = 2×2 = 4cm$，所以$a×2 = 4$，解得$a = 2$。
情况二：当$\triangle ABP\cong\triangle CQP$时，
$AB = CQ$，$BP = CP$。
由$BP = CP$，可得$2t = 10 - 2t$，
解得$t = 2.5$。
因为$AB = CQ$，$AB = 6cm$，所以$a×2.5 = 6$，解得$a = 2.4$。
综上，$a$的值为$2$或$2.4$。

7. (2024·内江中考)如图所示,点A、D、B、E在同一条直线上,AD= BE,AC= DF,BC= EF.
(1)求证：△ABC≌△DEF；
(2)若∠A= 55°,∠E= 45°,求∠F的度数.

（1）证明过程如上述；
（2）$\angle F = 80^{\circ}$。

（1）
因为$AD = BE$，所以$AD + DB = BE + DB$，即$AB=DE$。
在$\triangle ABC$和$\triangle DEF$中，
$\begin{cases}AC = DF,\\BC = EF,\\AB = DE.\end{cases}$
所以$\triangle ABC\cong\triangle DEF(SSS)$。
（2）
由（1）知$\triangle ABC\cong\triangle DEF$，
所以$\angle A=\angle EDF = 55^{\circ}$，$\angle E = 45^{\circ}$。
在$\triangle DEF$中，根据三角形内角和为$180^{\circ}$，
可得$\angle F=180^{\circ}-\angle EDF - \angle E=180^{\circ}-55^{\circ}-45^{\circ}=80^{\circ}$。

8. 如图所示,小林用10块高度是3cm的完全相同的长方体木块,垒了与地面垂直的木墙,木墙之间刚好放进一个等腰直角三角板(∠ACB= 90°),点C在DE上,A,B与木墙的顶端重合.求两堵木墙之间的距离.

设左边木墙由$x$块木块组成，右边木墙由$(10 - x)$块木块组成。
每块木块高度为$3\,cm$，则左边木墙高度$AD = 3x\,cm$，右边木墙高度$BE = 3(10 - x)\,cm$。
因为$\angle ACB = 90°$，$AD \perp DE$，$BE \perp DE$，所以$\angle ADC = \angle CEB = 90°$。
又$\angle ACD + \angle BCE = 90°$，$\angle ACD + \angle CAD = 90°$，故$\angle CAD = \angle BCE$。
在$\triangle ADC$和$\triangle CEB$中：
$\begin{cases} \angle ADC = \angle CEB \\\angle CAD = \angle BCE \\AC = BC \end{cases}$
所以$\triangle ADC \cong \triangle CEB$（AAS），则$AD = CE$，$DC = BE$。
因此$CE = 3x\,cm$，$DC = 3(10 - x)\,cm$。
两墙距离$DE = DC + CE = 3(10 - x) + 3x = 30\,cm$。
答：两堵木墙之间的距离为$30\,cm$。

9. 如图所示,在△ABC中,BO平分∠ABC,CO平分∠ACB,OD⊥AC于点D,OE⊥AB于点E,若AB= 8,AC= 6,BC= 10,S△ABC= 24,求OE的长.

过点$O$作$OF\perp BC$于点$F$。
因为$BO$平分$\angle ABC$，$OE\perp AB$，$OF\perp BC$，根据角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，所以$OE = OF$。
同理，因为$CO$平分$\angle ACB$，$OD\perp AC$，$OF\perp BC$，所以$OD = OF$，则$OE = OD = OF$。
$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle AOB}+S_{\triangle BOC}+S_{\triangle AOC}$。
已知$S_{\triangle ABC} = 24$，$AB = 8$，$AC = 6$，$BC = 10$。
$S_{\triangle AOB}=\frac{1}{2}× AB× OE=\frac{1}{2}×8× OE = 4OE$。
$S_{\triangle BOC}=\frac{1}{2}× BC× OF=\frac{1}{2}×10× OE = 5OE$（因为$OF = OE$）。
$S_{\triangle AOC}=\frac{1}{2}× AC× OD=\frac{1}{2}×6× OE = 3OE$（因为$OD = OE$）。
则$4OE + 5OE+3OE = 24$，即$12OE = 24$，解得$OE = 2$。
故$OE$的长为$2$。

10. 如图所示,AB//CD,M是AD的中点,BM⊥CM,连接BC.
(1)求证：CM平分∠BCD；
(2)探究BC,CD,AB之间的数量关系.

(1)延长BM交CD的延长线于点N。
∵AB//CD，∴∠A=∠MDN。
∵M是AD中点，∴AM=DM。
在△ABM和△DNM中，
∠A=∠MDN，AM=DM，∠AMB=∠DMN，
∴△ABM≌△DNM（ASA），∴BM=NM。
∵BM⊥CM，∴∠CMB=∠CMN=90°。
在△CMB和△CMN中，
BM=NM，∠CMB=∠CMN，CM=CM，
∴△CMB≌△CMN（SAS），∴∠BCM=∠NCM，即CM平分∠BCD。
(2)由△ABM≌△DNM得AB=DN。
由△CMB≌△CMN得BC=CN。
∵CN=CD+DN，∴BC=CD+AB。
结论：(1)得证；(2)BC=AB+CD。