13. 如图,在$∠AOB的内部有射线OC$,$OD$,$OE$.若$∠AOC= 52^{\circ}$,$∠BOE= \frac{1}{4}∠BOC$,$∠BOD= \frac{1}{4}∠AOB$,则$∠DOE= $.

【解析】：设∠BOC=x，则∠AOB=∠AOC+∠BOC=52°+x。
∵∠BOD=1/4∠AOB，
∴∠BOD=1/4(52°+x)。
∵∠BOE=1/4∠BOC，
∴∠BOE=1/4x。
∵OD、OE在∠AOB内部，且∠BOD=∠DOE+∠BOE，
∴∠DOE=∠BOD-∠BOE=1/4(52°+x)-1/4x=13°。
【答案】：13°

设∠BOC=x，则∠AOB=∠AOC+∠BOC=52°+x。
∵∠BOD=1/4∠AOB，
∴∠BOD=1/4(52°+x)。
∵∠BOE=1/4∠BOC，
∴∠BOE=1/4x。
∵OD、OE在∠AOB内部，且∠BOD=∠DOE+∠BOE，
∴∠DOE=∠BOD-∠BOE=1/4(52°+x)-1/4x=13°。

14. 如图,点$O是直线AB$上的一点,$∠COD= 90^{\circ}$,射线$OE在∠BOD$内部,且$∠BOE= ∠DOE$.
(1)若$∠BOE= 35^{\circ}$,求$∠COE和∠AOD$的度数；
(2)用等式写出$∠AOD与∠COE$的数量关系,并说明理由.

(1)∠COE=55°，∠AOD=110°；(2)∠AOD=2∠COE．

(1)∵∠BOE=∠DOE，∠BOE=35°，∴∠DOE=35°，∠BOD=∠BOE+∠DOE=35°+35°=70°．
∵∠COD=90°，点O在直线AB上，∠AOB=180°，∠COB=∠COD-∠BOD=90°-70°=20°，
∴∠COE=∠COB+∠BOE=20°+35°=55°．
∠AOD=∠AOB-∠BOD=180°-70°=110°．
(2)∠AOD=2∠COE．
理由：设∠BOE=∠DOE=x，则∠BOD=2x，∠COB=∠COD-∠BOD=90°-2x，
∠COE=∠COB+∠BOE=90°-2x+x=90°-x，∠AOD=∠AOB-∠BOD=180°-2x=2(90°-x)=2∠COE．

15. 已知$∠AOB= 90^{\circ}$,$∠AOC= 30^{\circ}$,$∠COD= 40^{\circ}$,求$∠BOD$的度数.

1. 当$OC$在$\angle AOB$内部时：
解：
因为$\angle AOB = 90^{\circ}$，$\angle AOC = 30^{\circ}$，所以$\angle BOC=\angle AOB-\angle AOC$。
根据$\angle AOB = 90^{\circ}$，$\angle AOC = 30^{\circ}$，可得$\angle BOC = 90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}$。
又因为$\angle COD = 40^{\circ}$，此时$\angle BOD=\angle BOC-\angle COD$（$D$在$\angle BOC$内部）。
则$\angle BOD = 60^{\circ}-40^{\circ}=20^{\circ}$。
2. 当$OC$在$\angle AOB$外部时：
解：
因为$\angle AOB = 90^{\circ}$，$\angle AOC = 30^{\circ}$，所以$\angle BOC=\angle AOB+\angle AOC$。
由$\angle AOB = 90^{\circ}$，$\angle AOC = 30^{\circ}$，可得$\angle BOC = 90^{\circ}+30^{\circ}=120^{\circ}$。
又因为$\angle COD = 40^{\circ}$，此时$\angle BOD=\angle BOC+\angle COD$（$D$在$\angle BOC$外部）。
则$\angle BOD = 120^{\circ}+40^{\circ}=160^{\circ}$。
综上，$\angle BOD$的度数为$20^{\circ}$或$160^{\circ}$。