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1. 二次函数$y = x^{2} + 1$的图象大致是(
C
)答案
C
解析
解：二次函数$y = x^{2} + 1$，其中$a = 1＞0$，抛物线开口向上；对称轴为$x = 0$；顶点坐标为$(0,1)$。符合条件的图象是C。
C
C
2. 下列函数中,图象形状、开口方向相同的是(
①$y = - 3x^{2}$；②$y = - \frac{1}{2}x^{2}$；③$y = - \frac{1}{2}x^{2} - 1$；④$y = 2x^{2} + 1$；⑤$y = 5x^{2} - 3$；⑥$y = - 5x^{2} + 13$。
A.①④
B.②③
C.⑤⑥
D.②③④
B
)①$y = - 3x^{2}$；②$y = - \frac{1}{2}x^{2}$；③$y = - \frac{1}{2}x^{2} - 1$；④$y = 2x^{2} + 1$；⑤$y = 5x^{2} - 3$；⑥$y = - 5x^{2} + 13$。
A.①④
B.②③
C.⑤⑥
D.②③④
答案
B
解析
二次函数$y=ax^2+bx+c(a\neq0)$的图象形状由$|a|$决定，开口方向由$a$的符号决定。
①$y=-3x^2$，$a=-3$；
②$y=-\frac{1}{2}x^2$，$a=-\frac{1}{2}$；
③$y=-\frac{1}{2}x^2 - 1$，$a=-\frac{1}{2}$；
④$y=2x^2 + 1$，$a=2$；
⑤$y=5x^2 - 3$，$a=5$；
⑥$y=-5x^2 + 13$，$a=-5$。
②和③的$a$值相同，均为$-\frac{1}{2}$，所以它们的图象形状、开口方向相同。
B
①$y=-3x^2$，$a=-3$；
②$y=-\frac{1}{2}x^2$，$a=-\frac{1}{2}$；
③$y=-\frac{1}{2}x^2 - 1$，$a=-\frac{1}{2}$；
④$y=2x^2 + 1$，$a=2$；
⑤$y=5x^2 - 3$，$a=5$；
⑥$y=-5x^2 + 13$，$a=-5$。
②和③的$a$值相同，均为$-\frac{1}{2}$，所以它们的图象形状、开口方向相同。
B
3. 已知点$A(x_{1},y_{1})$,$B(x_{2},y_{2})在二次函数y = ax^{2} + 1(a ＜ 0)$的图象上,若$x_{1} ＞ x_{2} ＞ 0$,则$y_{1}$
＜
$y_{2}$。(填“$＞$”“$＜$”或“$=$”)答案
＜
解析
二次函数$y = ax^{2}+1(a\lt0)$的图象开口向下，对称轴为$y$轴。当$x\gt0$时，$y$随$x$的增大而减小。因为$x_{1}\gt x_{2}\gt0$，所以$y_{1}\lt y_{2}$。
＜
＜
4. 二次函数$y = mx^{2} + m - 2的图象的顶点在y$轴的负半轴上,且开口向上,则$m$的取值范围为
0＜m＜2
。答案
$0＜m＜2$
解析
解：因为二次函数开口向上，所以$m＞0$。
二次函数$y = mx^{2} + m - 2$的顶点坐标为$(0, m - 2)$，顶点在$y$轴负半轴上，所以$m - 2 ＜ 0$，即$m ＜ 2$。
综上，$m$的取值范围为$0 ＜ m ＜ 2$。
$0 ＜ m ＜ 2$
二次函数$y = mx^{2} + m - 2$的顶点坐标为$(0, m - 2)$，顶点在$y$轴负半轴上，所以$m - 2 ＜ 0$，即$m ＜ 2$。
综上，$m$的取值范围为$0 ＜ m ＜ 2$。
$0 ＜ m ＜ 2$
5. 能否通过适当地上下平移二次函数$y = \frac{1}{3}x^{2}$的图象,使得到的新的函数图象过点$(3,-3)$？若能,说出平移的方向和距离；若不能,说明理由。
答案
能。沿y轴向下平移6个单位长度。
解析
能。设平移后的函数解析式为$y = \frac{1}{3}x^{2} + k$，将点$(3,-3)$代入得$-3=\frac{1}{3}×3^{2}+k$，解得$k=-6$，故沿$y$轴向下平移$6$个单位长度。
6. 如图22-1-3-1,在平面直角坐标系中,抛物线$y = ax^{2} + 3与y轴交于点A$,过点$A作与x轴平行的直线交抛物线y = \frac{1}{3}x^{2}于点B$,$C$,则$BC$的长为
6
。答案
6
解析
当$x=0$时，$y=a×0^{2}+3=3$，则点$A$的坐标为$(0,3)$。
因为$BC// x$轴，且点$B$、$C$在抛物线$y = \frac{1}{3}x^{2}$上，所以点$B$、$C$的纵坐标为$3$。
令$\frac{1}{3}x^{2}=3$，则$x^{2}=9$，解得$x=\pm3$。
所以点$B$的坐标为$(-3,3)$，点$C$的坐标为$(3,3)$。
$BC$的长为$|3 - (-3)|=6$。
6
因为$BC// x$轴，且点$B$、$C$在抛物线$y = \frac{1}{3}x^{2}$上，所以点$B$、$C$的纵坐标为$3$。
令$\frac{1}{3}x^{2}=3$，则$x^{2}=9$，解得$x=\pm3$。
所以点$B$的坐标为$(-3,3)$，点$C$的坐标为$(3,3)$。
$BC$的长为$|3 - (-3)|=6$。
6
7. 如图22-1-3-2,隧道的截面由抛物线和长方形构成,长方形的长是$8m$,宽是$2m$,抛物线可以用$y = - \frac{1}{4}x^{2} + 4$表示。一辆货运卡车高$4m$,宽$2m$,它能通过该隧道吗？
答案
解:把$y=4-2=2$代入$y=-\frac{1}{4}x^{2}+4$,得$2=-\frac{1}{4}x^{2}+4$,解得$x=\pm 2\sqrt{2}$。
∴此时可通过物体的宽度为$2\sqrt{2}-(-2\sqrt{2})=4\sqrt{2}＞2$,
∴它能通过该隧道。
∴此时可通过物体的宽度为$2\sqrt{2}-(-2\sqrt{2})=4\sqrt{2}＞2$,
∴它能通过该隧道。
8. 已知二次函数$y = 2x^{2} + m$。
(1) 若点$(-2,y_{1})与(3,y_{2})$在此二次函数的图象上,则$y_{1}$
(2) 如图22-1-3-3,此二次函数的图象经过点$(0,-4)$,正方形$ABCD的顶点C$,$D在x$轴上,$A$,$B$恰好在二次函数的图象上,则图中阴影部分的面积之和是
(1) 若点$(-2,y_{1})与(3,y_{2})$在此二次函数的图象上,则$y_{1}$
＜
$y_{2}$(填“$＞$”“$=$”或“$＜$”)；(2) 如图22-1-3-3,此二次函数的图象经过点$(0,-4)$,正方形$ABCD的顶点C$,$D在x$轴上,$A$,$B$恰好在二次函数的图象上,则图中阴影部分的面积之和是
8
。答案
(1)＜
(2)8
