【例1】如图24-2-4-1,P为⊙O外一点,PA,PB分别切⊙O于A,B两点,CD切⊙O于点E,分别交PA,PB于点C,D。若PA= 5,则△PCD的周长和∠COD分别为()

A.5,$\frac{1}{2}(90^{\circ}+\angle P)$
B.7,$90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle P$
C.10,$90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle P$
D.10,$90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle P$
解题关键 根据切线长定理转化线段和角,将△PCD的周长转化为切线长。

C

∵PA，PB切⊙O于A，B，CD切⊙O于E，
∴PA=PB=5，CA=CE，DB=DE。
△PCD的周长=PC+CD+PD=PC+CE+DE+PD=PC+CA+DB+PD=PA+PB=5+5=10。
连接OA，OB，OE，
∵PA，PB，CD是切线，
∴OA⊥PA，OB⊥PB，OE⊥CD，∠ACO=∠ECO，∠BDO=∠EDO。
∠AOB=180°-∠P。
∠COD=∠COE+∠DOE=1/2∠AOE+1/2∠BOE=1/2∠AOB=1/2(180°-∠P)=90°-1/2∠P。
C

【例2】如图24-2-4-2,点O是△ABC内切圆的圆心,∠BAC= 80°,求∠BOC的度数。

解题关键 根据三角形的内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点,利用三角形内角和定理解决问题。

解:
∵∠BAC=80°,
∴∠ABC+∠ACB=180°-80°=100°,
∵点O是△ABC的内切圆的圆心,
∴BO,CO分别为∠ABC,∠BCA的平分线,
∴∠OBC+∠OCB=50°,
∴∠BOC=130°。