15. (★★) 如图27.3-11,以点O为位似中心,将边长为256的正方形OABC依次作位似变换,经第一次变换后得正方形OA_1B_1C_1,其边长OA_1缩小为OA的$\frac{1}{2}$；经第二次变换后得正方形OA_2B_2C_2,其边长OA_2缩小为OA_1的$\frac{1}{2}$；经第三次变换后得正方形OA_3B_3C_3,其边长OA_3缩小为OA_2的$\frac{1}{2}$；……依此规律,经第n次变换后,所得正方形OAₙBₙCₙ的边长为正方形OABC边长的倒数,则n = 。

16

由题意可知，每次变换后正方形的边长是前一次边长的$\frac{1}{2}$。设原始正方形边长为$a_0 = 256$，第$n$次变换后的边长为$a_n$。
根据题意，边长关系为：
$a_1 = \frac{1}{2} a_0$
$a_2 = \frac{1}{2} a_1 = \frac{1}{2^2} a_0$
$a_3 = \frac{1}{2} a_2 = \frac{1}{2^3} a_0$
$\cdots$
$a_n = \frac{1}{2^n} a_0$
题目要求$a_n$为原始边长的倒数，即：
$a_n = \frac{1}{256} = \frac{1}{2^8}$
因此：
$\frac{1}{2^n} × 256 = \frac{1}{256}$
$\frac{1}{2^n} × 2^8 = \frac{1}{2^8}$
$2^8 × 2^{-n} = 2^{-8}$
$2^{8-n} = 2^{-8}$
$8 - n = -8$
$n = 16$

16. (★) 将图27.3-12所示的△ABC放大,使所得到的三角形与原三角形的相似比为5 : 4。

解：如图所示

17. (★) (2024·攀枝花) 如图27.3-13,△ABC与△DEF是位似图形,点O为位似中心。已知OA : AD = 2 : 1,则△ABC与△DEF的相似比为【】

A.2 : 3


B.1 : 3
C.2 : 1
D.3 : 2

A

已知 $ \triangle ABC $ 与 $ \triangle DEF $ 是位似图形，点 $ O $ 为位似中心，且 $ OA : AD = 2 : 1 $。
位似图形的相似比等于位似中心到对应顶点的距离之比。
设 $ OA = 2x $，则 $ AD = x $，所以 $ OD = OA + AD = 2x + x = 3x $。
因此，$ \triangle ABC $ 与 $ \triangle DEF $ 的相似比为 $ OA : OD = 2x : 3x = 2 : 3 $。

18. (★★) (2022·潍坊) 《墨子·天志》记载：“执其规矩,以度天下之方圆。”度方知圆,感悟数学之美。如图27.3-14,正方形ABCD的面积为4,以它的对角线的交点为位似中心,作它的位似图形A'B'C'D',若A'B' : AB = 2 : 1,则四边形A'B'C'D'的外接圆的周长为。

$4\sqrt{2}\pi$（或对应选择题的选项符号，若以选项形式呈现）

1. 正方形ABCD面积为4，边长$AB=\sqrt{4}=2$，对角线长度为$2\sqrt{2}$，对角线交点为位似中心。
2. 四边形$A'B'C'D'$与ABCD位似，且$A'B':AB=2:1$，故位似比为2，四边形$A'B'C'D'$边长为$2×2=4$。
3. 四边形$A'B'C'D'$为正方形，其对角线长度为$4\sqrt{2}$。
4. 外接圆直径等于正方形对角线长度，即$4\sqrt{2}$，半径为$2\sqrt{2}$。
5. 外接圆周长为$2\pi r=2\pi×2\sqrt{2}=4\sqrt{2}\pi$。