10. (★)如图 27 - 9,在 $ △ABC $ 中,$ ∠A = 78° $,$ AB = 4 $,$ AC = 6 $。将 $ △ABC $ 沿图 27 - 10 中所示的虚线剪开,剪下的阴影三角形与原三角形不一定相似的是【】
]

C

选项A、B中阴影三角形均有一角为78°且与原三角形有公共角，由AA定理可判定相似；选项D中阴影三角形通过平行线或比例截取，满足相似条件；选项C中阴影三角形两边长2和3，若夹角非∠A，且原三角形BC≈6.47≠6，无法保证两边对应成比例，故不一定相似。

11. (★★)如图 27 - 11,在四边形 $ ABCD $ 中,$ ∠BAD = 90° $,$ BD $ 平分 $ ∠ABC $,$ BD^2 = AB · BC $,$ E $ 为 $ BC $ 的中点,连接 $ AE $,交 $ BD $ 于点 $ F $。
(1) 判断 $ △BAD $ 与 $ △BDC $ 是否相似,并说明理由；
(2) 若 $ AB = 4 $,$ BC = 6 $,求 $ \frac{BF}{BD} $ 的值。
]

(1) △BAD∽△BDC。理由如下：
∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC。
∵BD²=AB·BC，∴AB/BD=BD/BC。
在△BAD和△BDC中，∠ABD=∠DBC，AB/BD=BD/BC，
∴△BAD∽△BDC（SAS）。
(2) 4/7。
解析：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴建立坐标系。
由AB=4，BC=6，得BD²=AB·BC=24，BD=2√6。
由△BAD∽△BDC，得AD=2√2，D(0,2√2)，B(4,0)。
设C(x,y)，由∠BDC=90°及BC=6，解得C(2,4√2)。
E为BC中点，E(3,2√2)。
AE方程：y=(2√2/3)x；BD方程：y=(-√2/2)x+2√2。
联立解得F(12/7,8√2/7)。
设BD参数方程为(4-4t,2√2 t)，代入F坐标得t=4/7，故BF/BD=4/7。

12. (★)若 $ △ABC $ 与 $ △DEF $ 相似且面积比为 $ 25 : 16 $,则 $ △ABC $ 与 $ △DEF $ 的周长比为。

$5:4$（或 5∶4 形式的同样结果，根据答案格式要求这里若为填空题形式则直接填写比例结果）由于是填空形式直接写比例，故答案填写为 $5 : 4$。

相似三角形的面积比等于相似比的平方，已知面积比为$25:16$，则相似比为$\sqrt{25}:\sqrt{16}=5:4$，相似三角形的周长比等于相似比，所以周长比为$5:4$。

13. (★★)已知 $ △ABC $ 的三条边长分别为 $ 2 cm $,$ 5 cm $,$ 6 cm $,现要利用长度为 $ 30 cm $ 和 $ 60 cm $ 的细木条各一根,做一个三角形木架与 $ △ABC $ 相似。要求以其中一根作为这个三角形木架的一边,将另一根截成两段(允许有余料,接头及损耗忽略不计)作为这个三角形木架的另外两边,那么这个三角形木架的三边长度分别为【】
A.$ 10 cm $,$ 25 cm $,$ 30 cm $
B.$ 10 cm $,$ 30 cm $,$ 36 cm $ 或 $ 10 cm $,$ 12 cm $,$ 30 cm $
C.$ 10 cm $,$ 30 cm $,$ 36 cm $
D.$ 10 cm $,$ 25 cm $,$ 30 cm $ 或 $ 12 cm $,$ 30 cm $,$ 36 cm $

D

原△ABC三边比为2:5:6，设相似三角形三边为2k:5k:6k。
情况一：以30cm为一边，60cm截成两段
若30cm对应5k（原5cm边），则5k=30，k=6，另两边为2k=12cm，6k=36cm。12+36=48cm≤60cm，可行，三边为12cm,30cm,36cm。
若30cm对应6k（原6cm边），则6k=30，k=5，另两边为2k=10cm，5k=25cm。10+25=35cm≤60cm，可行，三边为10cm,25cm,30cm。
情况二：以60cm为一边，30cm截成两段
60cm对应2k、5k、6k时，另两边和均超过30cm，不可行。
综上，三边为10cm,25cm,30cm或12cm,30cm,36cm。

14. (★★)如图 27 - 12,已知 $ AB $,$ CD $,$ EF $ 都与 $ BD $ 垂直,垂足分别是 $ B $,$ D $,$ F $,且 $ AB = 1 $,$ CD = 3 $,那么 $ EF $ 的长是【】

A.$ \frac{1}{3} $
B.$ \frac{2}{3} $
C.$ \frac{3}{4} $
D.$ \frac{4}{5} $
]

C

根据题意，$AB$, $CD$, $EF$ 都与 $BD$ 垂直，且 $AB = 1$, $CD = 3$。
由于 $AB // EF // CD$，所以 $AB$, $EF$, $CD$ 构成三个相似的直角三角形。
设 $BD = x$，则 $BF = y$，$FD = z$，有 $x = y + z$。
根据相似三角形的性质，有：
$\frac{EF}{AB} = \frac{FD}{BD} \quad 和 \quad \frac{EF}{CD} = \frac{BF}{BD}$
即：
$\frac{EF}{1} = \frac{z}{x} \quad 和 \quad \frac{EF}{3} = \frac{y}{x}$
两式相加，得：
$EF \left( \frac{1}{1} + \frac{1}{3} \right) = \frac{z + y}{x} = 1$
$EF \left( 1 + \frac{1}{3} \right) = 1$
$EF × \frac{4}{3} = 1$
$EF = \frac{3}{4}$