登录
1. 48 以内 6 的倍数有（
6，12，18，24，30，36，42，48
），48 以内 8 的倍数有（8，16，24，32，40，48
），48 以内 6 和 8 的公倍数有（24，48
），6 和 8 的最小公倍数是（24
）。答案
（按照题目顺序依次填写）6，12，18，24，30，36，42，48；8，16，24，32，40，48；24，48；24
解析
1. 求48以内6的倍数：
用6分别乘以1、2、3、4、5、6、7，$6×1 = 6$，$6×2 = 12$，$6×3 = 18$，$6×4 = 24$，$6×5 = 30$，$6×6 = 36$，$6×7 = 42$，$6×8 = 48$，所以48以内6的倍数有6，12，18，24，30，36，42，48。
2. 求48以内8的倍数：
用8分别乘以1、2、3、4、5、6，$8×1 = 8$，$8×2 = 16$，$8×3 = 24$，$8×4 = 32$，$8×5 = 40$，$8×6 = 48$，所以48以内8的倍数有8，16，24，32，40，48。
3. 求48以内6和8的公倍数：
对比上面求出的6和8在48以内的倍数，共同的数有24，48，所以48以内6和8的公倍数有24，48。
4. 求6和8的最小公倍数：
由前面求出的公倍数可知，最小的公倍数是24。
用6分别乘以1、2、3、4、5、6、7，$6×1 = 6$，$6×2 = 12$，$6×3 = 18$，$6×4 = 24$，$6×5 = 30$，$6×6 = 36$，$6×7 = 42$，$6×8 = 48$，所以48以内6的倍数有6，12，18，24，30，36，42，48。
2. 求48以内8的倍数：
用8分别乘以1、2、3、4、5、6，$8×1 = 8$，$8×2 = 16$，$8×3 = 24$，$8×4 = 32$，$8×5 = 40$，$8×6 = 48$，所以48以内8的倍数有8，16，24，32，40，48。
3. 求48以内6和8的公倍数：
对比上面求出的6和8在48以内的倍数，共同的数有24，48，所以48以内6和8的公倍数有24，48。
4. 求6和8的最小公倍数：
由前面求出的公倍数可知，最小的公倍数是24。
2. $\frac{24}{30}$的分子和分母的最大公因数是（
6
），约分成最简分数是（$\frac{4}{5}$
）。答案
6，$\frac{4}{5}$
解析
先分别找出24和30的因数，24的因数有1、2、3、4、6、8、12、24；30的因数有1、2、3、5、6、10、15、30。它们的公因数有1、2、3、6，最大公因数是6。用最大公因数6分别去除分子和分母，24÷6=4，30÷6=5，所以约分成最简分数是$\frac{4}{5}$。
3. 在$\frac{3}{12}$，$\frac{10}{30}$，$\frac{8}{24}$，$\frac{4}{16}$，$\frac{15}{20}$，$\frac{13}{39}$，$\frac{6}{18}$，$\frac{7}{21}$中，与$\frac{1}{3}$相等的分数有（
$\frac{10}{30}$，$\frac{8}{24}$，$\frac{13}{39}$，$\frac{6}{18}$，$\frac{7}{21}$
）。答案
$\frac{10}{30}$，$\frac{8}{24}$，$\frac{13}{39}$，$\frac{6}{18}$，$\frac{7}{21}$
解析
将各分数约分：$\frac{3}{12}=\frac{1}{4}$，$\frac{10}{30}=\frac{1}{3}$，$\frac{8}{24}=\frac{1}{3}$，$\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$，$\frac{15}{20}=\frac{3}{4}$，$\frac{13}{39}=\frac{1}{3}$，$\frac{6}{18}=\frac{1}{3}$，$\frac{7}{21}=\frac{1}{3}$。与$\frac{1}{3}$相等的分数有$\frac{10}{30}$，$\frac{8}{24}$，$\frac{13}{39}$，$\frac{6}{18}$，$\frac{7}{21}$。
4. 分母是 8 的最简真分数有（
1/8、3/8、5/8、7/8
）。答案
1/8、3/8、5/8、7/8
解析
最简真分数需满足分子小于分母且分子与分母互质。分母是8，分子可取值1-7。其中1与8互质，3与8互质，5与8互质，7与8互质，故最简真分数为1/8、3/8、5/8、7/8。
1. 分子和分母都是合数的分数，（
A.一定
B.不一定
C.一定不
B
）是最简分数。A.一定
B.不一定
C.一定不
答案
B
解析
合数是除了1和它本身外还有其他因数的自然数。例如，分数$\frac{8}{9}$，分子8和分母9都是合数，且8和9互质，因此$\frac{8}{9}$是最简分数。而分数$\frac{8}{12}$，分子8和分母12都是合数，但8和12有公因数4，不是最简分数。因此分子和分母都是合数的分数不一定是最简分数。
2. 一个最简真分数，分子与分母的和是 15，这样的分数一共有（
A.2 个
B.3 个
C.4 个
C
）。A.2 个
B.3 个
C.4 个
答案
C
解析
最简真分数是指分子小于分母且分子与分母互质的分数。分子与分母的和是15，设分子为$x$，分母为$15 - x$，且$x\lt 15 - x$，即$x\lt 7.5$，$x$为正整数。
当$x = 1$时，分母为$14$，$1$和$14$互质，$\frac{1}{14}$是最简真分数；
当$x = 2$时，分母为$13$，$2$和$13$互质，$\frac{2}{13}$是最简真分数；
当$x = 3$时，分母为$12$，$3$和$12$不是互质关系，$\frac{3}{12}$不是最简分数；
当$x = 4$时，分母为$11$，$4$和$11$互质，$\frac{4}{11}$是最简真分数；
当$x = 5$时，分母为$10$，$5$和$10$不是互质关系，$\frac{5}{10}$不是最简分数；
当$x = 6$时，分母为$9$，$6$和$9$不是互质关系，$\frac{6}{9}$不是最简分数；
当$x = 7$时，分母为$8$，$7$和$8$互质，$\frac{7}{8}$是最简真分数。
满足条件的分数有$\frac{1}{14}$，$\frac{2}{13}$，$\frac{4}{11}$，$\frac{7}{8}$，共$4$个。
当$x = 1$时，分母为$14$，$1$和$14$互质，$\frac{1}{14}$是最简真分数；
当$x = 2$时，分母为$13$，$2$和$13$互质，$\frac{2}{13}$是最简真分数；
当$x = 3$时，分母为$12$，$3$和$12$不是互质关系，$\frac{3}{12}$不是最简分数；
当$x = 4$时，分母为$11$，$4$和$11$互质，$\frac{4}{11}$是最简真分数；
当$x = 5$时，分母为$10$，$5$和$10$不是互质关系，$\frac{5}{10}$不是最简分数；
当$x = 6$时，分母为$9$，$6$和$9$不是互质关系，$\frac{6}{9}$不是最简分数；
当$x = 7$时，分母为$8$，$7$和$8$互质，$\frac{7}{8}$是最简真分数。
满足条件的分数有$\frac{1}{14}$，$\frac{2}{13}$，$\frac{4}{11}$，$\frac{7}{8}$，共$4$个。
3. 下列分数，与$1\frac{3}{5}$相等的分数是（
A.$\frac{5}{8}$
B.$\frac{4}{5}$
C.$\frac{24}{15}$
C
）。A.$\frac{5}{8}$
B.$\frac{4}{5}$
C.$\frac{24}{15}$
答案
C
解析
首先将带分数$1\frac{3}{5}$转换为假分数：
$1\frac{3}{5} = \frac{5 × 1 + 3}{5} = \frac{8}{5}$。
然后比较选项：
A. $\frac{5}{8} \neq \frac{8}{5}$；
B. $\frac{4}{5} \neq \frac{8}{5}$；
C. $\frac{24}{15} = \frac{24 ÷ 3}{15 ÷ 3} = \frac{8}{5}$，与$1\frac{3}{5}$相等。
$1\frac{3}{5} = \frac{5 × 1 + 3}{5} = \frac{8}{5}$。
然后比较选项：
A. $\frac{5}{8} \neq \frac{8}{5}$；
B. $\frac{4}{5} \neq \frac{8}{5}$；
C. $\frac{24}{15} = \frac{24 ÷ 3}{15 ÷ 3} = \frac{8}{5}$，与$1\frac{3}{5}$相等。
4. $a$和$b$的公因数只有 1，则$a$和$b$（
A.都是质数
B.都是合数
C.无法确定
C
）。A.都是质数
B.都是合数
C.无法确定
答案
C
解析
公因数只有1的两个数是互质数。互质数可能都是质数（如2和3），可能都是合数（如8和9），也可能一个质数一个合数（如3和4），所以无法确定a和b是什么数。
1. 把下列各数约分。
$\frac{41}{82}$ $\frac{21}{45}$ $\frac{95}{120}$ $\frac{34}{51}$
$\frac{41}{82}$ $\frac{21}{45}$ $\frac{95}{120}$ $\frac{34}{51}$
答案
答题卡：
1. $\frac{41}{82}$:
$最大公约数为 41,$
$\frac{41 ÷ 41}{82 ÷ 41} = \frac{1}{2}.$
2. $\frac{21}{45}$:
$最大公约数为 3,$
$\frac{21 ÷ 3}{45 ÷ 3} = \frac{7}{15}.$
3. $\frac{95}{120}$:
$最大公约数为 5,$
$\frac{95 ÷ 5}{120 ÷ 5} = \frac{19}{24}.$
4. $\frac{34}{51}$:
$最大公约数为 17,$
$\frac{34 ÷ 17}{51 ÷ 17} = \frac{2}{3}.$
1. $\frac{41}{82}$:
$最大公约数为 41,$
$\frac{41 ÷ 41}{82 ÷ 41} = \frac{1}{2}.$
2. $\frac{21}{45}$:
$最大公约数为 3,$
$\frac{21 ÷ 3}{45 ÷ 3} = \frac{7}{15}.$
3. $\frac{95}{120}$:
$最大公约数为 5,$
$\frac{95 ÷ 5}{120 ÷ 5} = \frac{19}{24}.$
4. $\frac{34}{51}$:
$最大公约数为 17,$
$\frac{34 ÷ 17}{51 ÷ 17} = \frac{2}{3}.$
2. 把下列各组数通分。
$\frac{9}{10}$和$\frac{4}{5}$ $\frac{4}{9}$和$\frac{5}{12}$
$\frac{9}{10}$和$\frac{4}{5}$ $\frac{4}{9}$和$\frac{5}{12}$
答案
1. 对于$\frac{9}{10}$和$\frac{4}{5}$：
$10$和$5$的最小公倍数为$10$。
$\frac{9}{10}$保持不变，$\frac{4}{5}=\frac{4×2}{5×2}=\frac{8}{10}$。
2. 对于$\frac{4}{9}$和$\frac{5}{12}$：
$9 = 3×3$，$12 = 2×2×3$，$9$和$12$的最小公倍数为$2×2×3×3 = 36$。
$\frac{4}{9}=\frac{4×4}{9×4}=\frac{16}{36}$，$\frac{5}{12}=\frac{5×3}{12×3}=\frac{15}{36}$。
综上，$\frac{9}{10}$和$\frac{4}{5}$通分后为$\frac{9}{10}$和$\frac{8}{10}$；$\frac{4}{9}$和$\frac{5}{12}$通分后为$\frac{16}{36}$和$\frac{15}{36}$。
$10$和$5$的最小公倍数为$10$。
$\frac{9}{10}$保持不变，$\frac{4}{5}=\frac{4×2}{5×2}=\frac{8}{10}$。
2. 对于$\frac{4}{9}$和$\frac{5}{12}$：
$9 = 3×3$，$12 = 2×2×3$，$9$和$12$的最小公倍数为$2×2×3×3 = 36$。
$\frac{4}{9}=\frac{4×4}{9×4}=\frac{16}{36}$，$\frac{5}{12}=\frac{5×3}{12×3}=\frac{15}{36}$。
综上，$\frac{9}{10}$和$\frac{4}{5}$通分后为$\frac{9}{10}$和$\frac{8}{10}$；$\frac{4}{9}$和$\frac{5}{12}$通分后为$\frac{16}{36}$和$\frac{15}{36}$。
四、把下列分数按要求填在相应的圈内，说一说你的方法。
$\frac{1}{3}$ $\frac{2}{7}$ $\frac{5}{6}$ $\frac{5}{9}$ $\frac{3}{4}$ $\frac{6}{5}$
$\frac{1}{3}$ $\frac{2}{7}$ $\frac{5}{6}$ $\frac{5}{9}$ $\frac{3}{4}$ $\frac{6}{5}$
比$\frac{1}{2}$小的分数：$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{7}$
比$\frac{1}{2}$大的分数：$\frac{5}{6}$，$\frac{5}{9}$，$\frac{3}{4}$，$\frac{6}{5}$
方法：将各分数与$\frac{1}{2}$比较大小。
$\frac{1}{3} = \frac{2}{6} ＜ \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
$\frac{2}{7} = \frac{4}{14} ＜ \frac{7}{14} = \frac{1}{2}$
$\frac{5}{6} ＞ \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
$\frac{5}{9} = \frac{10}{18} ＞ \frac{9}{18} = \frac{1}{2}$
$\frac{3}{4} = \frac{6}{8} ＞ \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$
$\frac{6}{5} ＞ 1 ＞ \frac{1}{2}$
比$\frac{1}{2}$大的分数：$\frac{5}{6}$，$\frac{5}{9}$，$\frac{3}{4}$，$\frac{6}{5}$
方法：将各分数与$\frac{1}{2}$比较大小。
$\frac{1}{3} = \frac{2}{6} ＜ \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
$\frac{2}{7} = \frac{4}{14} ＜ \frac{7}{14} = \frac{1}{2}$
$\frac{5}{6} ＞ \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
$\frac{5}{9} = \frac{10}{18} ＞ \frac{9}{18} = \frac{1}{2}$
$\frac{3}{4} = \frac{6}{8} ＞ \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$
$\frac{6}{5} ＞ 1 ＞ \frac{1}{2}$
答案
比$\frac{1}{2}$小的分数：$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{7}$
比$\frac{1}{2}$大的分数：$\frac{5}{6}$，$\frac{5}{9}$，$\frac{3}{4}$，$\frac{6}{5}$
方法：将各分数与$\frac{1}{2}$比较大小。
$\frac{1}{3} = \frac{2}{6} ＜ \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
$\frac{2}{7} = \frac{4}{14} ＜ \frac{7}{14} = \frac{1}{2}$
$\frac{5}{6} ＞ \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
$\frac{5}{9} = \frac{10}{18} ＞ \frac{9}{18} = \frac{1}{2}$
$\frac{3}{4} = \frac{6}{8} ＞ \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$
$\frac{6}{5} ＞ 1 ＞ \frac{1}{2}$
比$\frac{1}{2}$大的分数：$\frac{5}{6}$，$\frac{5}{9}$，$\frac{3}{4}$，$\frac{6}{5}$
方法：将各分数与$\frac{1}{2}$比较大小。
$\frac{1}{3} = \frac{2}{6} ＜ \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
$\frac{2}{7} = \frac{4}{14} ＜ \frac{7}{14} = \frac{1}{2}$
$\frac{5}{6} ＞ \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$
$\frac{5}{9} = \frac{10}{18} ＞ \frac{9}{18} = \frac{1}{2}$
$\frac{3}{4} = \frac{6}{8} ＞ \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$
$\frac{6}{5} ＞ 1 ＞ \frac{1}{2}$
五、解决问题。
把 140 kg 绿豆和 160 kg 红豆分别装在若干个纸箱中，要使每箱绿豆和每箱红豆的质量最多且相等。
1. 每箱绿豆或红豆质量是多少千克？
2. 一共需要准备多少个纸箱？
把 140 kg 绿豆和 160 kg 红豆分别装在若干个纸箱中，要使每箱绿豆和每箱红豆的质量最多且相等。
1. 每箱绿豆或红豆质量是多少千克？
2. 一共需要准备多少个纸箱？
答案
1. 解：求每箱绿豆或红豆质量最多且相等，就是求$140$和$160$的最大公因数。
$140 = 2×2×5×7$，$160 = 2×2×2×2×2×5$，
则$140$和$160$的最大公因数是$2×2×5 = 20$，即每箱绿豆或红豆质量是$20$千克。
2. 解：绿豆需要纸箱$140÷20 = 7$（个），
红豆需要纸箱$160÷20 = 8$（个），
一共需要准备纸箱$7 + 8 = 15$（个）。
综上，答案依次为：$20$千克；$15$个。
$140 = 2×2×5×7$，$160 = 2×2×2×2×2×5$，
则$140$和$160$的最大公因数是$2×2×5 = 20$，即每箱绿豆或红豆质量是$20$千克。
2. 解：绿豆需要纸箱$140÷20 = 7$（个），
红豆需要纸箱$160÷20 = 8$（个），
一共需要准备纸箱$7 + 8 = 15$（个）。
综上，答案依次为：$20$千克；$15$个。
六、快乐提升。
一排电线杆，每两根之间的距离是 30 m，现在改为 45 m。如果在起点的一根电线杆不动，至少再隔多远又有一根电线杆不需要移动？如果原来共有 30 根电线杆，会有几根不需要移动？
一排电线杆，每两根之间的距离是 30 m，现在改为 45 m。如果在起点的一根电线杆不动，至少再隔多远又有一根电线杆不需要移动？如果原来共有 30 根电线杆，会有几根不需要移动？
答案
1. 求30和45的最小公倍数：
30=2×3×5，45=3×3×5，最小公倍数=2×3×3×5=90。
答：至少再隔90m又有一根电线杆不需要移动。
2. 原来30根电线杆的总距离：(30-1)×30=870(m)。
不需要移动的电线杆位置为90的倍数（含起点0m），870÷90=9（个）……60（m），即有9个间隔，共9+1=10根。
答：会有10根不需要移动。
30=2×3×5，45=3×3×5，最小公倍数=2×3×3×5=90。
答：至少再隔90m又有一根电线杆不需要移动。
2. 原来30根电线杆的总距离：(30-1)×30=870(m)。
不需要移动的电线杆位置为90的倍数（含起点0m），870÷90=9（个）……60（m），即有9个间隔，共9+1=10根。
答：会有10根不需要移动。
