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1. 一元二次方程 $x^{2}-2\sqrt{2}x - 1 = 0$ 的根的情况是( )
A.只有一个实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.没有实数根
A.只有一个实数根
B.有两个相等的实数根
C.有两个不相等的实数根
D.没有实数根
答案
C
解析
对于一元二次方程$x^{2}-2\sqrt{2}x - 1 = 0$，其中$a = 1$，$b=-2\sqrt{2}$，$c=-1$。
判别式$\Delta = b^{2}-4ac = (-2\sqrt{2})^{2}-4×1×(-1)=8 + 4=12$。
因为$\Delta=12＞0$，所以方程有两个不相等的实数根。
C
判别式$\Delta = b^{2}-4ac = (-2\sqrt{2})^{2}-4×1×(-1)=8 + 4=12$。
因为$\Delta=12＞0$，所以方程有两个不相等的实数根。
C
2. 下列方程中,有两个不相等的实数根的是( )
A.$x^{2}+5x = - 10$
B.$7x^{2}-14x + 7 = 0$
C.$x^{2}= 3x - 8$
D.$x^{2}-6x = - 4x + 3$
A.$x^{2}+5x = - 10$
B.$7x^{2}-14x + 7 = 0$
C.$x^{2}= 3x - 8$
D.$x^{2}-6x = - 4x + 3$
答案
D
解析
A. 方程化为$x^{2}+5x + 10=0$，$\Delta=5^{2}-4×1×10=25 - 40=-15＜0$，无实数根；
B. $\Delta=(-14)^{2}-4×7×7=196 - 196=0$，有两个相等的实数根；
C. 方程化为$x^{2}-3x + 8=0$，$\Delta=(-3)^{2}-4×1×8=9 - 32=-23＜0$，无实数根；
D. 方程化为$x^{2}-2x - 3=0$，$\Delta=(-2)^{2}-4×1×(-3)=4 + 12=16＞0$，有两个不相等的实数根。
D
B. $\Delta=(-14)^{2}-4×7×7=196 - 196=0$，有两个相等的实数根；
C. 方程化为$x^{2}-3x + 8=0$，$\Delta=(-3)^{2}-4×1×8=9 - 32=-23＜0$，无实数根；
D. 方程化为$x^{2}-2x - 3=0$，$\Delta=(-2)^{2}-4×1×(-3)=4 + 12=16＞0$，有两个不相等的实数根。
D
3. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-6x + 9m = 0$ 没有实数根,则实数 $m$ 的取值范围是( )
A.$m＞-1$
B.$m＞1$
C.$m＜1$
D.$m＜-1$
A.$m＞-1$
B.$m＞1$
C.$m＜1$
D.$m＜-1$
答案
B
解析
对于一元二次方程$x^{2}-6x + 9m = 0$，其中$a = 1$，$b=-6$，$c = 9m$。
判别式$\Delta=b^{2}-4ac=(-6)^{2}-4×1×9m=36 - 36m$。
因为方程没有实数根，所以$\Delta＜0$，即$36-36m＜0$。
解得$m＞1$。
B
判别式$\Delta=b^{2}-4ac=(-6)^{2}-4×1×9m=36 - 36m$。
因为方程没有实数根，所以$\Delta＜0$，即$36-36m＜0$。
解得$m＞1$。
B
4. 已知方程 $x^{2}-4x + a = 0$ 根的判别式的值为 $4$,则 $a= $______。
答案
3
解析
解：对于方程 $x^{2}-4x + a = 0$，其中 $a=1$，$b=-4$，$c=a$。
根的判别式 $\Delta = b^{2}-4ac = (-4)^{2}-4×1× a = 16 - 4a$。
已知 $\Delta = 4$，则 $16 - 4a = 4$，
解得 $4a = 12$，$a = 3$。
3
根的判别式 $\Delta = b^{2}-4ac = (-4)^{2}-4×1× a = 16 - 4a$。
已知 $\Delta = 4$，则 $16 - 4a = 4$，
解得 $4a = 12$，$a = 3$。
3
5. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2}-kx + 25 = 0$ 有两个相等的实数根,则 $k$ 的值是______。
答案
±10
解析
解：
∵一元二次方程$x^{2}-kx + 25 = 0$有两个相等的实数根，
∴判别式$\Delta = (-k)^{2}-4×1×25 = 0$，
即$k^{2}-100 = 0$，
$k^{2}=100$，
解得$k = \pm10$。
$\pm10$
∵一元二次方程$x^{2}-kx + 25 = 0$有两个相等的实数根，
∴判别式$\Delta = (-k)^{2}-4×1×25 = 0$，
即$k^{2}-100 = 0$，
$k^{2}=100$，
解得$k = \pm10$。
$\pm10$
6. 不解方程,判断下列方程根的情况：
(1) $x^{2}+x - 6 = 0$；
(2) $2x^{2}-x + 1 = 0$；
(3) $x^{2}-x - k^{2}= 0$($k$ 为常数)；
(4) $x(2x - 3)= 4 - 6x$。
(1) $x^{2}+x - 6 = 0$；
(2) $2x^{2}-x + 1 = 0$；
(3) $x^{2}-x - k^{2}= 0$($k$ 为常数)；
(4) $x(2x - 3)= 4 - 6x$。
答案
(1)Δ＞0,有两个不相等的实数根;
(2)Δ＜0,没有实数根;
(3)Δ＞0,有两个不相等实数根;
(4)Δ＞0,有两个不相等的实数根
7. 已知关于 $x$ 的方程 $(m + 1)x^{2}-(2m - 3)x + m + 1 = 0$。
(1) 当 $m$ 为何值时,方程有两个不相等的实数根？
(2) 当 $m$ 为何值时,方程有两个相等的实数根？
(3) 当 $m$ 为何值时,方程没有实数根？
(1) 当 $m$ 为何值时,方程有两个不相等的实数根？
(2) 当 $m$ 为何值时,方程有两个相等的实数根？
(3) 当 $m$ 为何值时,方程没有实数根？
答案
(1)$m＜\frac{1}{4}$且$m\neq -1$;
(2)$m=\frac{1}{4}$;
(3)$m＞\frac{1}{4}$
8. 若 $- 2$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $(k^{2}-1)x^{2}+2kx + 4 = 0$ 的一个根,求 $k$ 的值。
答案
$k=0$
解析
把$x = -2$代入方程$(k^{2}-1)x^{2}+2kx + 4 = 0$，得：
$\begin{aligned}(k^{2}-1)×(-2)^{2}+2k×(-2)+4&=0\\4(k^{2}-1)-4k + 4&=0\\4k^{2}-4 - 4k + 4&=0\\4k^{2}-4k&=0\\4k(k - 1)&=0\end{aligned}$
解得$k = 0$或$k = 1$。
因为方程是一元二次方程，所以$k^{2}-1\neq0$，即$k\neq\pm1$。
综上，$k = 0$。
$\begin{aligned}(k^{2}-1)×(-2)^{2}+2k×(-2)+4&=0\\4(k^{2}-1)-4k + 4&=0\\4k^{2}-4 - 4k + 4&=0\\4k^{2}-4k&=0\\4k(k - 1)&=0\end{aligned}$
解得$k = 0$或$k = 1$。
因为方程是一元二次方程，所以$k^{2}-1\neq0$，即$k\neq\pm1$。
综上，$k = 0$。
