1. 在平面直角坐标系中,抛物线 $ y = 3x^{2}+5x - 2 $ 与 $ x $ 轴的交点有( )

A.2 个
B.1 个
C.0 个
D.无法确定

A

要判断抛物线 $ y = 3x^{2}+5x - 2 $ 与 $ x $ 轴的交点个数，需令 $ y = 0 $，即求解方程 $ 3x^{2}+5x - 2 = 0 $。
对于一元二次方程 $ ax^{2}+bx + c = 0 $（$ a \neq 0 $），其判别式为 $ \Delta = b^{2}-4ac $。
在方程 $ 3x^{2}+5x - 2 = 0 $ 中，$ a = 3 $，$ b = 5 $，$ c = -2 $，则：
$ \Delta = 5^{2}-4×3×(-2) = 25 + 24 = 49 $
因为 $ \Delta = 49＞0 $，所以方程有两个不相等的实数根，即抛物线与 $ x $ 轴有 2 个交点。
A

2. 抛物线 $ y = a(x + 1)^{2}+2 $ 的一部分如图所示,该抛物线在 $ y $ 轴右侧部分与 $ x $ 轴交点的坐标是( )

A.$ \left( \dfrac{1}{2},0 \right) $
B.$ (1,0) $
C.$ (2,0) $
D.$ (3,0) $

B

解：由抛物线方程 $ y = a(x + 1)^2 + 2 $ 可知，对称轴为直线 $ x = -1 $。
由图可知，抛物线与 $ x $ 轴的一个交点为 $ (-3, 0) $。
设抛物线与 $ x $ 轴的另一个交点坐标为 $ (x, 0) $，因为抛物线的对称轴为 $ x = -1 $，所以根据抛物线的对称性可得：$\frac{-3 + x}{2} = -1$，解得 $ x = 1 $。
故该抛物线在 $ y $ 轴右侧部分与 $ x $ 轴交点的坐标是 $ (1, 0) $。
答案：B

3. 下列抛物线中,与 $ x $ 轴无公共点的是( )

A.$ y = x^{2}-2 $
B.$ y = x^{2}+4x + 4 $
C.$ y = -x^{2}+3x + 2 $
D.$ y = x^{2}-x + 2 $

D

要判断抛物线与$x$轴是否有公共点，需计算判别式$\Delta = b^2 - 4ac$，当$\Delta ＜ 0$时无公共点。
选项A：$y = x^2 - 2$，$a=1$，$b=0$，$c=-2$。
$\Delta = 0^2 - 4×1×(-2) = 8 ＞ 0$，有两个公共点。
选项B：$y = x^2 + 4x + 4$，$a=1$，$b=4$，$c=4$。
$\Delta = 4^2 - 4×1×4 = 0$，有一个公共点。
选项C：$y = -x^2 + 3x + 2$，$a=-1$，$b=3$，$c=2$。
$\Delta = 3^2 - 4×(-1)×2 = 17 ＞ 0$，有两个公共点。
选项D：$y = x^2 - x + 2$，$a=1$，$b=-1$，$c=2$。
$\Delta = (-1)^2 - 4×1×2 = -7 ＜ 0$，无公共点。
D

4. 抛物线 $ y = mx^{2}-3mx + 2m(m \neq 0) $ 与 $ x $ 轴的交点坐标为______。

$(1,0),(2,0)$

令$y=0$，则$mx^{2}-3mx + 2m=0$。
因为$m\neq 0$，方程两边同时除以$m$得：$x^{2}-3x + 2=0$。
因式分解得：$(x - 1)(x - 2)=0$。
解得$x_{1}=1$，$x_{2}=2$。
抛物线与$x$轴的交点坐标为$(1,0)$，$(2,0)$。

5. 已知二次函数 $ y = mx^{2}+5x - 10 $ 的图象与 $ x $ 轴有交点,则 $ m $ 的取值范围是______。

$m\geqslant -\dfrac{5}{8}$且$m\neq 0$

二次函数$y = mx^{2}+5x - 10$的图象与$x$轴有交点，即方程$mx^{2}+5x - 10=0$有实数根。
因为是二次函数，所以$m\neq 0$。
对于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0(a\neq 0)$，判别式$\Delta=b^{2}-4ac$，当$\Delta\geqslant 0$时，方程有实数根。
在方程$mx^{2}+5x - 10=0$中，$a = m$，$b = 5$，$c=-10$，所以$\Delta=5^{2}-4× m×(-10)=25 + 40m$。
由$\Delta\geqslant 0$可得：$25 + 40m\geqslant 0$，$40m\geqslant -25$，$m\geqslant-\dfrac{25}{40}=-\dfrac{5}{8}$。
综上，$m$的取值范围是$m\geqslant-\dfrac{5}{8}$且$m\neq 0$。
$m\geqslant -\dfrac{5}{8}$且$m\neq 0$

6. 已知抛物线 $ y = x^{2}-(k + 2)x + 9 $ 的顶点在 $ x $ 轴上,求 $ k $ 的值。

$k=4$或$k=-8$

解：对于抛物线 $ y = x^{2}-(k + 2)x + 9 $，其顶点在 $ x $ 轴上，说明抛物线与 $ x $ 轴只有一个交点，即判别式 $ \Delta = 0 $。
其中 $ a = 1 $，$ b = -(k + 2) $，$ c = 9 $。
判别式 $ \Delta = b^{2}-4ac = [-(k + 2)]^{2}-4×1×9 $
$ = (k + 2)^{2}-36 $
令 $ \Delta = 0 $，则 $ (k + 2)^{2}-36 = 0 $
$ (k + 2)^{2} = 36 $
$ k + 2 = \pm 6 $
当 $ k + 2 = 6 $ 时，$ k = 4 $；
当 $ k + 2 = -6 $ 时，$ k = -8 $。
综上，$ k = 4 $ 或 $ k = -8 $。

7. 已知二次函数 $ y = ax^{2}+bx + c(a \neq 0) $ 的图象如图所示,请结合图象,判断下列各式的符号：
(1) $ abc $；(2) $ b^{2}-4ac $；(3) $ a + b + c $；(4) $ a - b + c $。

(1)$abc＜0$;
(2)$b^{2}-4ac＜0$;
(3)$a+b+c＜0$;
(4)$a-b+c＜0$

8. 求证：不论 $ m $ 为何实数,抛物线 $ y = x^{2}-2mx + m^{2}+3 $ 与 $ x $ 轴始终没有交点。

$\because \Delta ＜0$,$\therefore$抛物线与$x$轴没有交点

证明：对于抛物线$y = x^{2}-2mx + m^{2}+3$，其中$a = 1$，$b=-2m$，$c=m^{2}+3$。
计算判别式$\Delta=b^{2}-4ac$，
$\begin{aligned}\Delta&=(-2m)^{2}-4×1×(m^{2}+3)\\&=4m^{2}-4m^{2}-12\\&=-12\end{aligned}$
因为$\Delta=-12＜0$，所以抛物线与$x$轴始终没有交点。