7. 一个角的余角是它的补角的 $ \frac{2}{5} $,这个角的补角是()
A.$ 30^{\circ} $
B.$ 60^{\circ} $
C.$ 120^{\circ} $
D.$ 150^{\circ} $

D

设这个角为$x$，则它的余角为$90^{\circ} -x$，补角为$180^{\circ} -x$，
根据题意得：$90^{\circ} -x=\frac{2}{5}(180^{\circ} -x)$，
解方程：
$5(90 - x) = 2(180 - x)$
$450 - 5x = 360 - 2x$
$-5x + 2x = 360 - 450$
$-3x = -90$
$x = 30^{\circ}$
所以补角为$180^{\circ} - 30^{\circ} = 150^{\circ}$。

8. 如图,在线段 $ MN $ 上有 $ P $、$ Q $ 两点,$ PQ $ 长度为 $ 2 cm $,$ MN $ 长为整数,则以 $ M $,$ P $,$ Q $,$ N $ 为端点的所有线段长度和可能为()

A.$ 22 cm $
B.$ 21 cm $
C.$ 20 cm $
D.$ 19 cm $

C

设线段$MN$的长度为$x$（$x$为整数），端点顺序为$M$、$P$、$Q$、$N$。以$M$、$P$、$Q$、$N$为端点的线段有$MP$、$MQ$、$MN$、$PQ$、$PN$、$QN$，共6条。设$MP=a$，$QN=b$，则$PQ=2\,cm$，$MN=a+2+b$，即$a+b=x-2$。所有线段长度和$S=MP+MQ+MN+PQ+PN+QN$，代入得：
$S=a+(a+2)+x+2+(2+b)+b=3a+3b+8=3(a+b)+8=3(x-2)+8=3x+2$。
因为$x$为整数，所以$S=3x+2$。当$S=20$时，$3x+2=20$，解得$x=6$（整数），符合题意。

9. 如图,$ O $ 是直线 $ AB $ 上一点,$ OC $ 为任一条射线,$ OD $ 平分 $ \angle BOC $,$ OE $ 平分 $ \angle AOC $.
(1) 若 $ \angle BOC = 58^{\circ} $,求 $ \angle EOC $ 的度数.
(2) 猜想：$ \angle COD $ 与 $ \angle EOC $ 具有怎样的数量关系？请说明理由.

(1) 因为$OE$平分$\angle AOC$，根据角平分线的性质，$\angle EOC=\frac{1}{2}\angle AOC$。
因为$\angle AOC = 180^{\circ}-\angle BOC$，$\angle BOC = 58^{\circ}$，所以$\angle AOC=180^{\circ}-58^{\circ}=122^{\circ}$。
则$\angle EOC=\frac{1}{2}×122^{\circ}=61^{\circ}$。
(2) $\angle EOC+\angle COD = 90^{\circ}$，理由如下：
因为$OD$平分$\angle BOC$，所以$\angle COD=\frac{1}{2}\angle BOC$。
又因为$OE$平分$\angle AOC$，所以$\angle EOC=\frac{1}{2}\angle AOC$。
则$\angle EOC+\angle COD=\frac{1}{2}\angle AOC+\frac{1}{2}\angle BOC=\frac{1}{2}(\angle AOC+\angle BOC)$。
因为$\angle AOC+\angle BOC = 180^{\circ}$，所以$\angle EOC+\angle COD=\frac{1}{2}×180^{\circ}=90^{\circ}$。
综上，答案为：(1)$\angle EOC = 61^{\circ}$；(2)$\angle EOC+\angle COD = 90^{\circ}$。

10. 已知 $ O $ 为直线 $ AB $ 上一点,将一直角三角板 $ OMN $ 的直角顶点放在点 $ O $ 处.射线 $ OC $ 平分 $ \angle MOB $.
(1) 如图 1,若 $ \angle AOM = 40^{\circ} $,求 $ \angle CON $ 的度数.
(2) 将图 1 中的直角三角板 $ OMN $ 绕顶点 $ O $ 顺时针旋转至图 2 的位置,当 $ \angle AOC = 3 \angle BON $ 时,求 $ \angle AOM $ 的度数.

(1)20°；(2)144°。

(1) ∵O为直线AB上一点，∴∠AOB=180°。
∵∠AOM=40°，∴∠MOB=∠AOB-∠AOM=180°-40°=140°。
∵OC平分∠MOB，∴∠MOC=∠MOB/2=140°/2=70°。
∵△OMN为直角三角板，∴∠MON=90°。
∴∠CON=∠MON-∠MOC=90°-70°=20°。
(2) 设∠BON=y，则∠AOC=3y。设∠AOM=x。
∵OC平分∠MOB，∠MOB=180°-x，∴∠COB=∠MOB/2=(180°-x)/2=90°-x/2。
∵∠AOC+∠COB=∠AOB=180°，∴3y+(90°-x/2)=180°，整理得x=6y-180°。
∵∠MON=90°，由旋转后图形知∠MON=∠MOB+∠BON，即(180°-x)+y=90°，整理得x-y=90°。
联立x=6y-180°和x-y=90°，解得y=54°，x=144°。
∴∠AOM=144°。