1. 函数 $ y = -\frac{2}{3}x^{2} + 2 $ 的图象开口向,顶点坐标是,对称轴是.

下；(0,2)；y轴

对于二次函数$y=ax^2 + k$（$a≠0$），当$a＜0$时，图象开口向下；顶点坐标为$(0,k)$；对称轴是$y$轴（即直线$x=0$）。在函数$y = -\frac{2}{3}x^{2} + 2$中，$a=-\frac{2}{3}＜0$，$k=2$，所以开口向下，顶点坐标是$(0,2)$，对称轴是$y$轴。

2. 抛物线 $ y = ax^{2} + c $ 的开口方向、大小与抛物线 $ y = 3x^{2} $ 相同,且顶点坐标为$(0,1)$,则 $ a = $,$ c = $.

3,1

因为抛物线 $ y = ax^2 + c $ 与 $ y = 3x^2 $ 开口方向、大小相同，所以 $ a = 3 $。又因为顶点坐标为 $ (0,1) $，所以 $ c = 1 $。

3. 函数 $ y = 2(x - 3)^{2} + 2 $ 的图象的顶点坐标为()
A.$(-3,2)$
B.$(2,3)$
C.$(3,2)$
D.$(3,-2)$

C

对于二次函数的顶点式$y=a(x-h)^2+k$（$a\neq0$），其顶点坐标为$(h,k)$。在函数$y = 2(x - 3)^{2} + 2$中，$h=3$，$k=2$，所以顶点坐标为$(3,2)$。

4. 不改变抛物线 $ y = 4x^{2} $ 的形状,分别按下列要求平移,写出平移后抛物线对应的函数表达式.
(1) 向左平移 5 个单位：.
(2) 向右平移 2 个单位,再向下平移 $ \frac{3}{4} $ 个单位：.

(1)$y=4(x+5)^2$
(2)$y=4(x-2)^2-\frac{3}{4}$

(1) 抛物线$y=4x^2$向左平移5个单位，根据“左加右减”原则，得$y=4(x+5)^2$。
(2) 先向右平移2个单位，得$y=4(x-2)^2$，再向下平移$\frac{3}{4}$个单位，根据“上加下减”原则，得$y=4(x-2)^2-\frac{3}{4}$。

5. 已知二次函数 $ y = \frac{1}{3}x^{2} + 1 $ 与二次函数 $ y = -\frac{1}{3}x^{2} - 1 $,请从抛物线的开口方向、形状、对称轴、顶点等方面说出两个函数图象的相同点与不同点.

答题区：
相同点：
对称轴均为$y$轴（或直线$x = 0$）；
顶点坐标均为$(0, 对应常数项)$，即分别为$(0,1)$和$(0, -1)$的横坐标相同（此点可简化为“顶点横坐标相同”）；
形状相同（或开口宽窄相同，因为二次项系数绝对值相同）。
不同点：
$y = \frac{1}{3}x^{2} + 1$的抛物线开口向上，而$y = -\frac{1}{3}x^{2} - 1$的抛物线开口向下；
$y = \frac{1}{3}x^{2} + 1$的顶点坐标为$(0,1)$，在$x$轴上方，而$y = -\frac{1}{3}x^{2} - 1$的顶点坐标为$(0, -1)$，在$x$轴下方。

6. 已知一条抛物线的开口大小、方向与 $ y = \frac{2}{3}x^{2} - 1 $ 的图象相同,且顶点坐标是$(4,-2)$.
(1) 问这条抛物线可由已知抛物线经怎样的移动得到.
(2) 试求这条抛物线的函数表达式.

(1) 已知抛物线$y = \frac{2}{3}x^2 - 1$的顶点坐标为$(0,-1)$，所求抛物线顶点坐标为$(4,-2)$。
因为$4 - 0 = 4$，$-2 - (-1) = -1$，所以这条抛物线可由已知抛物线向右平移4个单位，再向下平移1个单位得到。
(2) 设所求抛物线的函数表达式为$y = a(x - h)^2 + k$，其中$(h,k)$为顶点坐标，$a$决定抛物线的开口大小和方向。
因为所求抛物线开口大小、方向与$y = \frac{2}{3}x^2 - 1$相同，所以$a = \frac{2}{3}$，又顶点坐标是$(4,-2)$，即$h = 4$，$k = -2$。
所以所求抛物线的函数表达式为$y = \frac{2}{3}(x - 4)^2 - 2$。
展开可得：$y = \frac{2}{3}(x^2 - 8x + 16) - 2 = \frac{2}{3}x^2 - \frac{16}{3}x + \frac{32}{3} - 2 = \frac{2}{3}x^2 - \frac{16}{3}x + \frac{26}{3}$。
综上，(1)向右平移4个单位，再向下平移1个单位；(2)$y = \frac{2}{3}(x - 4)^2 - 2$（或$y = \frac{2}{3}x^2 - \frac{16}{3}x + \frac{26}{3}$）。